| 研究概要 |
power moment と trigonometric moments の場合について、以下の結果に大きな違いがないので、trigonometric moments だけについて述べます。
{C_0,C_1,…C_N},C_<-x>=C_x(1≦k≦N)を(strictly)positive definiteな列とするとき、その表現測度の全体 〓R(C_0,…,C_N)は明らかに単位円周上の測度全体の中で weak^〓 compact な凸集合をなしています。以下{C_0,C_1,…C_N}を一つ固定して、〓R(C_0,…,C_N)の端点を問題にします。
例{d_0,…,d_M,d_<M+1>}が singularly positive definite であるとは{d_0,…,d_M}は strictly positive definite でかつ{d_0,…,d_M,d_<M+1>}は non-negative definite であるが strictlyには positive definite でないこととします。与えられた{C_0,…,C_N}に対して、これを有限列を付け加えて任意の長さの singularly positive definite な列{C_0,…C_N,…,C_M,C_<M+1>}を作ることが可能です。以下、この拡大列を簡単に singular extension と呼ぶことにします。結果は次のようになります。
定理 {C_0,…C_N}の singular extension で、その長さが2倍以下のものの全体と 〓R(C_0,…,C_N)の端点全体との間に一対一の対応がつけられる。さらに、その対応の付け方は次のように与えられる。{C_0,…C_N,…,C_M,C_<M+1>}(N≦M≦2N)を singular extension の一つとするとき、M+1次の多項式
(〕,SV,〔)
は単位円周上に M+1個の零点alpha_1,…,alpha_<1M+1>を持ち、これら零点{alpha_1,…,alpha_<M+1>}を台とし、各alpha_〓に重さ
(〕,SV,〔)
を持つ測定mu=SIGMA_<AM+1(/)〓=1>omega_〓deltaalpha_〓が{C_0,…C_N,…,C_M,C_<M+1>}に対応しているものである。ここに、T_Mは{C_0,…C_M}から出来る Toeplitz行列、D_MはT_Mの行列式である。
,(〕,SV,〔)
|
