非線型放物型方程式系及び楕円型方程式系にたいする解集合の研究

1993 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 05640231
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• 研究分担者: 堤 正義 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70063774) ; 郡 敏昭 早稲田大学, 理工学部, 教授 (50063730) ; 小島 清史 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30063689) ; 垣田 高夫 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90063362) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656)
• キーワード: 反応拡散方程式系 / 準線型放物型方程式 / 漸近安定 / 軌道安定 / 定常解 / 周期解 / 分岐

研究概要

非線形放物型方程式系と関連する楕円型方程式について研究を進めてきたなかで、今年度中に成果が得られた研究テーマは、[1]フイードバック効果をもつ反応拡散方程式系についての解集合の構造、[2]数理生態学にあらわれる準線系放物型方程式系について、の二つである。[1]の研究においては、数値実験の結果から、フイードバックのメカニズムは反応拡散方程式系の解にたいして振動現象をもたらすことが観測されている。ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながらも終局的には定常解に収束するのはどんな場合かを解析した。その結果、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件をわかりやすい形で導くことができた。さらに適当な定数をパラメーターとみなして変化させるとき、定常解が不安定となる状況が起きる。このときには定常解から周期解が分岐することが証明され、分岐した周期解の軌道安定性を調べることができた。周期解が必ずしも軌道安定になるとは限らないこともわかり、将来さらに詳しい解析を進める必要がある。また、[1]の方程式系をディリクレ境界条件の下で解析すると、解の漸近挙動を調べる際にノイマンのときにはなかった難しさがあらわれる。定常問題の解集合の構造が単純ではない点である。対応する楕円型方程式系の正値解を見つけることが重要であり、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。ただし、解集合の情報は完全ではなく、今後も研究を続けなければならない。[2]は二種類の生物が競合している状況をモデルとしていて、二つの方程式の間で拡散効果が相互作用をしている。このような数学的難点を克服して、かなり自然な条件のもとで有界な大域界を校正することができた。今後は、この解の時間無限大での漸近挙動を調べる予定である。

研究成果

• [文献書誌] Masato IIDA: "Convergence of solutions of a chemical interfacial reaction model" Funkcialaj Ekvacioj. 36. 311-328 (1993)
• [文献書誌] Yoshio YAMADA: "Asymptofic behavior of solutions for semilinear Volterra diffusion equations" Nonlinear Anolysis,Theory,Methods & Applications. 21. 227-239 (1993)
• [文献書誌] Masato IIDA: "Exponential convargence of solutions for a mathematical model on chemical interfacial reactions" Advances in Mathematical Sciences and Applications. 3(予定). (1994)
• [文献書誌] Hiroki HOSHINO: "Asympfofic pehavior of global solutions for some reaction-deffusion systems" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. (予定). (1994)
• [文献書誌] Yoshio YAMADA: "Glopal solections for quasilinear parabolic systems with cross-diffusion effects" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. (予定). (1995)
• [文献書誌] Yoshio YAMADA: "A certain class of reaction-deffusion systems with feedback effects" Advances in Mathematical Sciences and Applications. (予定). (1995)
• [文献書誌] Masayoshi TSUTSUMI: "On Benney′s second long-wave-ohart-wave equations" Advances in Nathematical Sciences and Applications. 2. 75-89 (1993)
• [文献書誌] Isamu FUKUDA: "Unqueness of solutions to the Couchy problem for Ut-U△U+r|▽u|^2=0" Differential and Integral Equations. 6. 1231-1252 (1993)
• [文献書誌] Masayoshi TSUTSUMI: "Decay of weak solutions to the Davey-Stewarotson systems" Journal of Mathemahical Analysis and Applications. 182,(印刷中). (1994)
• [文献書誌] Shigeo HATANO: "Well-posedness of the Cauchy problem for the long-short wave resulnance equations" Non linear Analysis,Theory,Metheds & Applications. (予定). (1994)
• [文献書誌] Masayoshi TSUTSUMI: "Well-posedness of the Cauchy problem for Benney′s first equations of long wave short wave interactions" Funkcialaj Ekvacioj. (予定). (1994)
• [文献書誌] Mitsuharu 〓tani: "A priori estimates for some nanlinear parabolic equations via Lyapurov funotios" Lectwe Notes in Mathemcotios,Spronger. 1540. 317-327 (1993)
• [文献書誌] Tomoyuki IDOGAWA: "Analyticaty and the best possible constants for Sobelev-Poincarl in equalities" Advances in Mathematical Sciences and Applicatios. (予定). (1994)
• [文献書誌] Hiroshi INOUE: "Strong solutions of imifial boundary value problems of heat-unvection equcations in noncylindricaldomauis" Nonlirear Analysis,Theory,Nethuds & Applications. (予定). (1994)
• [文献書誌] Tomoyuki INOUE: "The first eigenualues of some abstract elliphic openators" Funkcialaj Ekvacioj. (予定). (1994)
• [文献書誌] Mitsuharu 〓tani: "Nonlinear evolution equations with time-dependent cengtrains" Advances in Mathematical Sciences and Applications. (予定). (1994)
• [文献書誌] 郡敏昭: "微分積分-理論と計算" 学術図書出版社, 214ページ (1993)