幾何構造の退化とモジュライのコンパクト化

1993 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 05804005
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 満渕 俊樹 大阪大学, 教養部, 教授 (80116102)
• 研究分担者: 大和 健二 大阪大学, 教養部, 助教授 (70093474) ; 榎 一郎 大阪大学, 教養部, 助教授 (20146806) ; 真鍋 昭治郎 大阪大学, 教養部, 助教授 (20028260) ; 西谷 達雄 大阪大学, 教養部, 教授 (80127117) ; 長瀬 道弘 大阪大学, 教養部, 教授 (70034733)
• キーワード: モジュライ空間 / コンパクト化 / 複素構造 / Einstein-Kahler計量 / 擬ノルム構造 / 極限擬ノルム構造 / Torelli型定理 / stability

研究概要

ここでは複素構造のモジュライ空間のコンパクト化について、我々の研究実績の概要を述べてみようと思う。C_1>0のもの、たとえばdel Pezzo曲面のモジュライのコンパクト化についてはquartic及びouficのものについては微分幾何学的なGromovコンパクト化の構造は何井との共同研究で完全にわかった。これについては最近Tianによってcomplete intersection型のFano多様体に対してEinstein-Kahler計量の存在とstabilityの関係がK-energy写像を介して明らかになるなど新しい展開が起きつつある。一方、一般型の多様体のモジュライ空間のコンパクト化に関しては、階付き擬ノルム代数という微分幾何と代数幾何を結ぶ概念を導入することによって、variation of Hodge structureにおけるlimit mixed Hodge structureにあたる“極限擬ノルム構造"というものが定義され、それによって自然なコンパクト化ができるということがわかるに至った。その副産物としてL^2空間に於ける直交性のL^p空間へのある意味の一般化が得られるという事や、またRoydenのquadratic differentialに対するリーマン面のTorelli型定理がstable cunreのTorelli型定理に一般化されるということが今吉との共同研究で明らかになりつつある。こういったTorelli型の定理の一般次元への拡張という問題も興味深い問題として残っているが、色々な意味でこの話題の更なる発展が真に望まれている。

研究成果

• [文献書誌] Toshiki MABUCHI: "Q-rationality of moment maps" Proc.Japan Acad.69. 392-394 (1993)
• [文献書誌] Andrew D.Hwang: "A conjecture on the group of biholomorphisms of a nonsingular Fano variety" Internat.J.Math.4. 833-839 (1993)
• [文献書誌] Toshiki MABUCHI: "Stability and Einstein-Kahler metric of a quartic del Pezzo surface" Lect.Notes in Pure and Appl.Math.,Marcel Dekker. 145. 133-160 (1993)
• [文献書誌] Ichiro Enoki: "Kawamata-Viehweg vanishing theorem for compact Kahler manifolds" Lect.Notes in Pure and Appl.Math.,Marcel Dekker. 145. 59-68 (1993)
• [文献書誌] Kensho Takegoshi: "A Liouville theorem on an analytic space" J.Math.Soc.Japan. 45. 301-311 (1993)
• [文献書誌] Makoto Namba: "Pfaffian systems with finite monodromy" Lect.Notes in Pure and Appl.Math.,Marcel Dekker. 143. 145-156 (1993)