研究課題
国際学術研究
1.1次元長距離相互作用をもつ量子可積分系の研究を行なった。1)ハルデイン・シャストリー型スピン系の重要な性質として、ヤンギアン対称性をもつことがあげられる。Motifとよばれるヤンギアン不変な基底の表現がRogers-Szego多項式から得られることを示した。2)動的な長距離相互作用系の解析には、Dunkl演算子を用いるのが便利である。古典ルート系に付随するDunkl演算子の構成法、反射方程式の楕円型解、が得られることを示した。3)長距離相互作用系としてゴーダン模型があげられるが、境界のあるゴーダン模型を提出し、その可積分性を示すとともに、エネルギー準位、固有関数を示した。2.幾何学的模型の拡張と応用を研究し、次のような結果を得た。1)レベルセット定式化を用い、幾何学的模型を議論した。一般の空間次元における曲線短縮(伸長)方程式に対する簡潔な表式を得た。また、この定式化により、サフマン・テーラー解を一般化する解が簡単に得られることを示した。2)一般的な曲がった空間において、反射拡散系の模型を定式化できることを示した。空間の不均一性をランダムにすると、有名なカーダー・1Pリジ・ザン方程式を基礎づけられることを示した。3.力学系の離散化と幾何学的模型を関係づける研究を行なった。1)3次元空間における離散面(3角分割した面)の運動を記述する定式化を提出した。ガウス・ワインガルテン方程式とガウス・コダッチ方程式を離散化した表式を用いる。速度に対する運動学的な条件を課すことにより、“曲率"に対する微分-差分方程式が導びかれる。2)平面における離散曲線(区分的に直線である曲線)の運動を記述する理論を定式化した。フレネ・セレ方程式を離散化した方程式と、速度に対する運動学的関係式の両立条件は、幾何学的模型に対する微分-差分方程式を与える。また、離散化したフレネ・セレ方程式とアブロウィッツ・ラディクによる離散的固有値問題との関係が明らかになった。3)3次元空間における離散面の運動を、離散面を2次元球面に写像することによって議論した。球面上の離散面の運動は微分-差分方程式を与える。特に境界の運動は可積分系(離散的変形kdVヒエラルキー)になる場合があり、その運動をガウス・ボネ公式と結びつけると、“ガウス曲率"が保存することを発見した。4.ソリトン方程式に関する数値的・理論的研究を行なった。1)2次元可積分系であるデ-ビ-・スチュアートソン方程式のもつドロミオン解について、その安定性に関する数値的研究を行なった。ドロミオン同士の正面衝突の数値的解析、流体系をモデルにした振動項の導出とそれがドロミオンに与える影響の考察を行なった結果、2次元系では平均流とよばれる一種の外力の効果が局所構造を保つのに重要であることがわかった。2)微分型非線形シュレディンガー方程式のゲージ変換の因子にあるパラメータを導入して新しい可積分方程式を導出するとともに、多変数の場合に拡張して弧を波解を求めた。このようにして求めた局在解は時間的に変化する内部構造をもつ。5.環状高分子のエントロピーを、絡み合い効果を厳密に考慮して数値的に求め、そのサイズ依存性を調べた。環状高分子の模型としてランダムポリゴンを考え、頂点数Nのポリゴンが結び目Kとなる確率P(K,N)をバシリエフ型絡み目不変量などを用いて数値的に求めた。臨界現象との類推からスケーリング近似式を用いてデータを解析した結果、サイズが十分に大きくないにもかかわらず、近似式が良く成り立つことがわかった。さらに、排除体積効果の影響を詳しく調べ、近似式中の「スケーリング」指数に普遍性が存在する可能性が大きいことを示した。6.周期的な外力下における非線形波面の振舞いを議論した。ブロッホ波の変調を記述する非線形シュレディンガー方程式が導びかれた。
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