リーマン幾何学の部分多様体論への応用

1994 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06302007
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 塩浜 勝博 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (20016059)
• 研究分担者: 町頭 義朗 佐賀大学, 理工学部, 助手 (00253584) ; 大津 幸男 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助手 (80233170) ; 市田 良輔 横浜市立大学, 文理学部, 助教授 (10094294) ; 山口 孝男 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (00182444) ; 陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)
• キーワード: リーマン多様体 / 部分多様体 / 曲率 / 距離関数 / 測地線 / アレクサンドロフ空間 / ハウスドルフ収束 / 長さの空間

研究概要

リーマン幾何学が生み出した手法のうち、ハウスドルフ近似はアレクサンドロフ空間をその極限として生じ、極めて重要な手法である。それを部分多様体論に応用し新しい問題を開拓する事も本研究によって手がけられた。
まずアレクサンドロフ空間Xの構造に関し、大津幸男-塩谷隆はX^a上の特異集合のハウスドルフ測定を評価し、X^n上殆ど至る所にC^1-微分構造とC^0-リーマン計量が自然に定義され、その計量から導入した距離はX^aの距離と一致することを証明した。大津は更にX^n上殆ど至る所にC^2-構造が定義され、ヤコビ場のノルム等が得られることを示し、塩谷は非コンパクトなX^n上の半直線の測度とX^nの理想境界のTits距離との関連を解明した。菅原はアレクサンドロフ曲面X^2上の極の大きさを精密に評価した。町頭はX^2上の測地三角形の超過量の極限から自然に定まる測定を導入し,Vitaliの被覆定理を用いて,X^2上殆ど至る所でガウス曲率が定まる事を証明した。かくしてRadon-Nikodymの定理から得られる絶対連続関数がガウス曲率である事が解明され、幾何学と測度論との融合が得られた。塩浜-田中実はX^2上のコンパクト集合に対する切断跡は、その内点集合が可算個の求長可能なジョルダン弧の和であってその端点集合はフラクタル集合となり得る事を示した。更に距離円は殆ど全ての半径に対して有限の長さをもつ有限個のサークルとなる事を証明した。切断跡の端点集合がフラクタル集合となる具体例は伊藤仁-によって得られた。田上広行(九大・大学院)は上に有界な曲率を持つアレクサンドロフ空間の構造について、特異点集合のハウスドルフ測定及びリーマン計量の存在について調べた。山口孝男は殆ど非負曲率のリーマン多様体に関する崩壊理論を完成させ、アレクサンドロフ空間への拡張を試みた。

研究成果

• [文献書誌] Katsuhiro Shiohama: "Cut loci and distance spheres on Alexandrov surfaces" Proc.Round Table in Riem,Geom.Collectione SMF. 1(to appear). (1995)
• [文献書誌] Kunio Sugahara: "On the Poles of Riemannian manifolds and Alexandrov spaces of curvature bounded below" Kyushu J.Math.49(to appear). (1995)
• [文献書誌] Takashi Shioya: "Mass of rays in Alexandrov spaces of nonnegative curvature" Commeut.Math.Helv.69. 208-228 (1994)
• [文献書誌] Yukio Otsu: "The Riemannian Structure of Alexandrov Spaces" J.Diff.Geometry. 39. 629-658 (1994)
• [文献書誌] Yukio Otsu: "On manifolds of small excess" Amer.J.Math.115. 1229-1280 (1994)
• [文献書誌] Takao Yamaguchi: "A convergence theorem in the geometry of Alexandrov spaces" Prcc.Round Table in Riemannian Geometry Collection SMF.Seminaires et Corgres. 1(to appear). (1994)
• [文献書誌] Katsuhiro Shiohama(Editor): "Progress in Differential Geometry" 日本数学会-Amer.Math.Soc., 505 (1993)
• [文献書誌] Katsuhiro Shiohama: "An Introduction to the Geometry of Alexandrov Spaces" Research Institute of Mathematics Seoul National Unirersity, 78 (1993)