部分多様体に自然に誘導される幾何構造及び同値問題について

1995 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06452008
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 佐々木 武 神戸大学, 理学部, 教授 (00022682)
• 研究分担者: 高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678) ; 高山 信毅 神戸大学, 理学部, 助教授 (30188099) ; 壁谷 喜継 神戸大学, 理学部, 助手 (70252757) ; 池田 裕司 神戸大学, 理学部, 教授 (10031353) ; 中西 康剛 神戸大学, 理学部, 助教授 (70183514)
• キーワード: 射影不変量 / 超幾何微分方程式 / 正則グラフ / パンルベ系 / 球対称性 / 結び目解消数 / グレプナ基底

研究概要

幾何構造及びその同値問題について得た成果を箇条書きにまとめる:
(1)アファイン微分幾何及び射影微分幾何に現われる幾何構造及び同値問題について 1.平坦トーラス上の閉曲線の変曲点の個数の評価、それがベストである例の構成、Euclidean torusの特徴付け 2.m+m(m+1)/2次のアファイン空間内のm次元部分多様体上に誘導される自然な接続、外部不変量を使ったアファイン極小性の特徴付け
3.アファイン微分幾何学の基礎付けとなる成書の刊行
4.アファイン接続を明確にした射影部分多様体論の展開と局所等質射影曲面の分類
(2)超幾何微分方程式の定める幾何構造について 1.超幾何方程式系E (k.n)の定める写像の像が一般にはグラスマン多様体とはならないことの証明 2.射影直線上の5点の配置を記述する空間が20個の単連結な空間に分解できること、そのつながり方が組合論的に記述されることの証明 3.射影空間上のk個の超平面と1個の2次曲面のなす配置空間上の方程式系の構成、および方程式系のリー環的対称性,交叉形式の計算
4.方程式系E (k.n)の隣接関係式と用いた整数計画法への応用;整数点の数えあげ法と最適解の部分的特徴づけ
5.合流型超幾何関数の隣接関係式の一般的公式の決定
6.合流型超幾何関数のStokes係数の関係式のBraid群による記述
(3)Painleve系の幾何構造について 1.パンルベ方程式系の初期値空間が自然なsymplectic構造を持つことと正準方程式としての代数幾何的な特徴付けが可能であることの証明 2.パンルヴェ系(VI)の多時間ヴァージョンであるガルニエ系の動かない特異点における解の挙動を見るための方程式の簡約化定理の証明
(4)共形構造の変形問題について 1.幾何構造の中で非線形微分方程式と関連した重要な対称に共形構造の変形問題の大域的研究 2.共形変形に関連した非線形楕円型方程式の球対称解の存在、一意性等についての研究
(5)組み合わせおよびアルゴリズムの研究
1.結び目に対するAlexander多項式の係数の増大の仕方についての評価式およびそのlink-homotopyへの応用
2.結び目解消数の最小化についてのある予想への部分的解答
3.一般化した結び目解消操作による結び目の局所同値による分類
4.Delta-unknotting numberがtorus knots, positive pretzel knots, positive closed S4S-braidsなどのクラスで、Conway多項式の2次の係数と一致することの証明
5.2項係数の和のみたす漸化式を計算するアルゴリズムの作成
6.数式処理システムKANの充実、Macaulayなどへの実験的組み込み
7.2次元の負定曲率空間でVornoi図を書くためのアルゴリズムの開発とその情報幾何への応用の研究

研究成果

• [文献書誌] Y. Kabeya: "Existence of oscillatory solutions to △u+k (|x|) |u|^<4/(n-2) >u=0 in R^n" Funkcialaj Ekvacioj. 38. 179-196 (1995)
• [文献書誌] B. Opozda: "Surface whose affine normal is a curve" Kyushu Journal of Matheamtics. 49. 1-10 (1995)
• [文献書誌] T. Sasaki: "Affine immersion of n-dimensional manifold into R^<n+n (n+1) /2> and affine minimality" Geometricae Dedicata. 57. 317-333 (1995)
• [文献書誌] T. Sasaki: "Closed curves on a flat affine 2-torus" Geometry and Topology of Submanifolds. 7. 228-230 (1995)
• [文献書誌] T. Sasaki: "Inflection points and affine vertices of closed curves on 2-dimensional affine flat tori" Results in Mathematics. 27. 129-140 (1995)
• [文献書誌] Y. Kabeya: "Existence of nodal fast-decay solutions to div(|▽u|^<m-2>▽u)+K(|x|)|u|^<bq-1>u=0 in R^n" Journal of Integral Equations. (to appear). (1996)
• [文献書誌] K. Matsumoto: "Braid group and a confluent hypergeomtric function" Journal of Mathematical Science, the Tokyo Univ.(to appear). (1996)
• [文献書誌] K. Onishi: "Construction of Voronoi diagram on the upper half plane" IEICE Transactions on Fundamentals. (to appear). (1996)
• [文献書誌] N. Takayama: "CR-geometry on the configuration space of 5 points on the projective line" Funkcialaj Ekvacioj. (to appear). (1996)
• [文献書誌] T. Sasaki: "On the system of differential equations associated with a quatric and hyperplanes" Kyushu Journal of Mathematics. (to appear). (1996)
• [文献書誌] T. Sasaki: "Sectional curvature of projective invariant metric on a strictly convex domain" Tokyo Journal of Mathematics. (to appear). (1996)
• [文献書誌] Y. Kabeya: "Global structure of Brezis-Nirenberg type equations on the unit ball" (to appear). (1996)
• [文献書誌] Y. Nakanishi: "On Alexander polynomials of two bridge knots" Journal of Australian Mathematical Society. (to appear).
• [文献書誌] Y. Nakanishi: "Union and tangle" Proceeding of American Mathematical Society. (to appear). (1996)
• [文献書誌] Y. Nakanishi: "Unknotting namber and knot diagram" Rev. Mat. Compultense Madrid. (to appear).
• [文献書誌] H. Kimura: "A normal form of Hamiltonian systems of several time variables with a regular singularity" Journal of Differential Equations. (to appear).
• [文献書誌] N. Takayama: "Algorithms finding recurrence relations of binomial sums and its complexity" Journal of Symbolic Computation. (to appear). (1996)