確率過程論、特にその統計力学への応用

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06452015
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 市原 完治 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (00112293)
• 研究分担者: 杉浦 誠 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (70252228) ; 千代延 大造 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助手 (50197638) ; 熊谷 隆 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (90234509) ; 尾畑 伸明 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (10169360) ; 青本 和彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (00011495)
• キーワード: Harnack不等式 / 差分作用素 / 熱核 / principal eigenfunction / 調和変換 / Dirichlet空間 / fractal / 拡散過程

研究概要

市原は、その体積が多項式オーダーの増大度をもつ有限生成群上の対称な差分作用素に対し、大局的なHarnack不等式を証明した。そして、その一つの応用としてDynkin-Maljutovの定理の空間的非一様な場合への一般化を行った。更に、リーマン多様体上の熱核に対して、そのprincipal eigenvalueが正になる場合に、時間に関する減衰度の精密なオーダー評価を行った。そのために、principal eigenfunctionによる調和変換とprincipal eigenfunctionそのものの詳しいオーダー評価を行い、Dirichlet空間におけるHardy-Littlewood型の定理を適用することによって上述のオーダーを得た。
熊谷は、affine nested fractal上の拡散過程の熱核に対し、Varadhan型の短時間評価およびこの拡散過程に関してSchilder型の大偏差原理を考察した。さらに2次元Sierpinski gasket上で、局所的には横方向に動く確率が非常に高いが、大域的に見ると均等な動きをする拡散過程を、Dirichlet形式を用いることにより系統的に構成し、その熱核の評価を行った。
杉浦は、確率過程の特異摂動の問題に関連して、微少パラメーターをもつ拡散過程に対して、平均流出時刻等に関するその指数的評価を行った。

研究成果

• [文献書誌] 市原完治: "A Liouville property for difference operators" Japanese Journal of Mathematics. (発表予定).
• [文献書誌] 市原完治: "Harnack's inequality on groups" Preprint series in Mathematical Sciences. No.28. 1-13 (1997)
• [文献書誌] 市原完治: "Birth and death processes in randomly fluctuating environments" Preprint series in Mathematical Sciences. No.27. 1-21 (1997)
• [文献書誌] 熊谷隆: "Short time asymptotic behavior and large deviations for Brownian motion on some affine nested fractals" Publication R.I.M.S.(発表予定).
• [文献書誌] 熊谷隆: "Heat kernel estimates and homogenization for asymptotically lower dimensional processes on some nested fractals" Potential Analysis. (発表予定).
• [文献書誌] 杉浦誠: "Exponential asymptotics in the small parameter exit problem" Nagoya Mathematical Journal. 144. 137-154 (1996)