エルミート多様体の微分幾何学的研究

1994 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06640116
• 研究機関: お茶の水女子大学
• 研究代表者: 塚田 和美 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (30163760)
• 研究分担者: 堀江 充子 お茶の水女子大学, 理学部, 助手 (70242336) ; 小野 薫 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (20204232) ; 榎本 陽子 お茶の水女子大学, 理学部, 助教授 (90151993) ; 藤原 正彦 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (00087074) ; 小川 洋輔 お茶の水女子大学, 理学部, 教授 (90017187)
• キーワード: 一般ホップ多様体 / de Rhamコホモロジー群 / 多重調和コホモロジー群 / ケーラー葉層構造 / 基底コホモロジー群 / 正則直線束 / シンプレクティック多様体 / 完全微分同相写像

研究概要

エルミート多様体の中で興味深いクラスである一般ホップ多様体について、その複素解析的性質などに関し、次のような成果が得られた。
・種々のコホモロジー群のうち、de Rhamコホモロジー群H^<,1>(M;R),多重調和コホモロジー群H^1(M;φ)、一般ホップ多様体が自然にもつケーラー葉層構造に依拠した基底コホモロジー群H^<1,1>_B(M)の構造及びそれらの間の関係について興味深い事実を知ることができた。
・上記コホモロジー群についての結果の応用として、一般ホップ多様体上の正則直線束に底多様体の葉層構造が自然な形で持ち上げることができ、葉層直線束になることや、ふたつのコンパクト一般ホップ多様体の積多様体には、locally conformal Kahler計量が入らないことを証明することができた。持ち上げられた葉層構造に注目することにより、正則直線束のコホモロジー群の性質、特に次元の評価等が得られるのではないかと期待される。
以上の成果の一部は既に発表され、続編の論文も準備されている(塚田論文)。
エルミート多様体に深く関わるシンプレクティック多様体についての研究も進み、小野は完全微分同相写像の不動点の個数に関するア-ノルド予想をあるクラスについて証明することに成功した(小野論文)。代数多様体の有理点の分布、有限群の表現論、円分体の2-類群に関する研究も成果が得られ、それぞれ藤原論文、榎本論文、堀江論文にまとめられている。

研究成果

• [文献書誌] K.Tsukada: "Holomorphic forms and holomorphic vector fields on compact generalized Hopf manifolds" Compositio Math.93. 1-22 (1994)
• [文献書誌] K.Ono: "On the Arnold conjecture for weakly monotone symplectic manifolds" Invent.math.119. 519-537 (1995)
• [文献書誌] H.V.Le and K.Ono: "Symplectic fixed points,the Calabi invariant and Novikov homology" Topology. 34. 155-176 (1995)
• [文献書誌] 藤原正彦: "Distribution of integral points on varieties" 数理解析研究所講究録. 886. 48-60 (1994)
• [文献書誌] Y.Usami(新姓 榎本陽子): "Perfect isometries for blocks with abelian defect groups and dihedral inertial quotients of order 6" Journal of Algebra. (to appear).
• [文献書誌] K.Horie and M.Horie: "On the 2-class groups of cyclotomic fields whose maximal real subfields have odd class numbers" Proc.Amer.Math.Soc. (to appear).