対称空間の部分多様体とグラスマン幾何の研究

1994 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06640147
• 研究機関: 山口大学
• 研究代表者: 内藤 博夫 山口大学, 理学部, 助教授 (10127772)
• 研究分担者: 中内 伸光 山口大学, 理学部, 助手 (50180237) ; 小宮 克弘 山口大学, 理学部, 教授 (00034744) ; 井上 透 山口大学, 理学部, 教授 (00034728) ; 志磨 裕彦 山口大学, 理学部, 教授 (70028182)
• キーワード: 部分多様体 / 対称空間 / グラスマン幾何 / 等長変換群

研究概要

この研究は対称空間の部分多様体論をグラスマン幾何の枠組の中で展開することであった。すなわち、対称空間の等長変換群を対称空間上のグラスマン束への変換群と考えるとき、それぞれの軌道は対称空間の形式的部分多様体論を定義する。これはリーマン部分多様体論では自然なものと考えられる。この研究課題ではとくに、その枠組の中で得られた形式的部分多様体論を分類し、さらにおのおのの形式的部分多様体論の構造を調べることであった。
得られた成果は強曲率不変型の形式的部分多様体論がリー代数論・対称空間論を用いて具体的に分類できた事が一つである。この分類はBergerによるaffine対称空間の分類の別分類にもなっている。もう一つは分類された形式的部分多様体論のそれぞれについて、その構造が表現論を用いて明らかにされた事である。すなわち、おのおのの部分多様体論が全測地的部分多様体以外の部分多様体をもつかどうかが判定された事である。成果は3つの論文として公表される予定である。1つは投稿中、1つはプレプリントの段階、残りは準備中である。
今後の研究は一般に強曲率不変型でない超曲面のグラスマン幾何及びリーマン面のグラスマン幾何を明らかにする方向で展開される。これによって一般の形式的部分多様体論の分類及びその構造の解明に対する方針が見えることが期待される。