| 研究概要 |
閉じた多様体に対して定義されているグロモフ不変量の概念をアレクサンドロフ空間に拡張し、その曲率や体積とグロモフ不変量との関連を明らかにした。アレクサンドロフ空間Xのグロモフ不変量を定義する為に,Xの曲線が上に有界である場合Xの特異点集合Sの余次元が2以上であることを家庭仮定する必要が一般にはある。これは、Xの基本類[X]の存在を保証する為に不可欠なものである.この仮定のもとに、アレクサンダー・スパニアーのコホモロジー理論を採用することによって、Xの基本類の存在を示すことにより、Xのグロモフ不変量を定義した。次に、基本類[X]のmassとXの体積が一致することを証明した。この事実は、Xがリーマン多様体である場合には、ストークスの定理と,Xの三角形分割可能性の2点から従うものである。ここでの証明は、幾何学的測度論を用いて、[X]を代表するチェインを性質の良いリプシッツ・チェインによってmass-近似し、ストークスの定理に代わるある種のキャンセルレーションの手法を開発することにより為される。この結果を本質的に用いることにより、負曲率アレクサンドロフ空間のグロモフ不変量が曲率の上限と体積を用いて下から評価されることを証明した。この証明では、まっすぐな測地単体のハウスドルフ測度の評価も本質的である。特殊なケースとして、アレクサンドロフ曲面を考察し,その特異点集合の型を用いてグロモフ不変量のより精密な評価を得ることができた。また、曲率が下に有界であるアレクサンドロフ空間に対しては、そのグロモフ不変量を曲率の下限と体積を用いて上から評価することができた。従ってこの場合、空間の特異点の出現は,グロモフ不変量にそれほど影響を及ぼさないことが判明した。これにより曲率を上から押えるか,或は下から押えるかで、そのグロモフ不変量への影響が全く異なることが明らかとなった。
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