| 研究概要 |
多様体上のpseudo-Hermitian構造を考えた.Contact form ωをもつ2n+1次元contact多様体Mは余次元1の部分束Nullω={X∈TM|ω(X)=0}を定める.その上にもし概複素構造Jが存在してintegrableであるとき,対(M,(ω,J))はpseudo-Hermitian多様体といわれる.このとき,(Nullω,J)はM上のCR構造とよばれる.たとえば,超曲面,典型的な例として複素双曲空間の境界としての奇数次元球面はCR多様体である.一方,実双曲空間の境界としての球面には共形構造が入ることが知られており,共形構造をもつ球面に局所的にモデルされる多様体として曲率一定のリーマン多様体がありそれらは共形平坦多様体とよばれる.この共形平坦多様体はそのリーマン多様体のWeyl曲率tensorがvanishする時に起こる.
われわれは,pseudo-Hermitian多様体に対して,どのような計量を考えるとそれが一定のときCR構造をもつ奇数次元球面に局所的にモデルされるかを考えた.このようなpseudo-Hermitian多様体はshperical CR多様体といわれる.
このために,まずg^+(X,Y)=±ω(X)・ω(Y)+dω(JX,Y)とおくことによりpseudo-Hermitian多様体M上にはリーマン計量g^±とローレンツ計量g^-が存在する.K^±_p(X,Y)をそれぞれの断面曲率とするとき,Null ωで定義された一つの曲率関数ΛをΛ_p(X,Y;(ω,J))=(K^+_P(X,Y)+K^-_P(X,Y))/2(1+3dω(X,Y)^2)で定義する.ここで,X,Y∈Null ωはg^+(resp.g^-)についてorthonormalとする.一方,M上のcharacteristic CRベクトル場とはcharacteristicベクトル場ξでそれが生成する局所flowが複素構造Jと可換なものをいう.M上のstandard pseudo-Hermitian構造をcharacteristic CRベクトル場ξが備わったpseudo-Hermitian構造(ω,J)と定義する.このとき我々は定曲率Λをもつstandar pseudo-Hermitian構造のモデル空間(g,X)を構成した。すなわちXは定曲率Λをもつcomplete連結,単連結standard pseudo-Hermitian多様体.GはXのpseudo-Hermitian変換からなる(n+1)^2次元Lie群である.我々は次のuniformizationを得た.
主張.Mを定曲率Λをもつ2n+1次元standard pseudo-Hermitian多様体とする.このとき,Mは(G,X)に関してuniformizeされる.特にMがコンパクトならば
(1)Λが正定数⇔Mはspherical space form S^<2n+1>/Fにisomorphicである.
(2)Λ=0⇔MはHeisenberg infranilmanifold Ν/Γにisomorphicである.
(3)Λが負定数⇔MはLorentz standard space form H^<1,2n>/Γ(負定曲率 測地的完備ローレンツ多様体)にisomorphicである.
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