各種微分方程式の数理解析および数値解析

1994 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 06640335
• 研究種目: 一般研究(C)
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 室谷 義昭 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90063718)
• 研究分担者: 和田 淳蔵 早稲田大学, 教育学部, 教授 (50063342) ; 堤 正義 早稲田大学, 理工学部, 教授 (70063774) ; 郡 敏昭 早稲田大学, 理工学部, 教授 (50063730) ; 大谷 光春 早稲田大学, 理工学部, 教授 (30119656) ; 山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
• キーワード: -

研究概要

まず、数理解析的研究では、フィードバック効果をもつ反応拡散方程式系について、ノイマン境界条件の下で拡散方程式系の解が、振動しながら終局的には定常解に収束する場合に、定常解が大域的に漸近安定となる条件、および、局所的に漸近安定となる条件を導いた。また、適当なパラメーターを変化させると定常解から周期解が分岐することを証明し、分岐した周期解の軌道安定性を調べた。また、ディリクレ境界条件の下でも、不動点定理や写像度の理論を使って解の存在を示すことができた。数理生態学にあらわれる二種類の生物が競合している状況をモデルとする準線形放物型方程式について、かなり自然な条件のもとで有界な大域解を構成することができた。
一方、数値解析的研究では、特異摂動問題から導かれる差分方程式等の非対称な行列を係数行列とする連立方程式を解く場合の、非対称性を利用した有効な計算法である“順序付き改良SOR法"を提案し、その誤差解析と各種の数値実験例を行った。とくに、係数行列が三重対角行列やHessenbesy形の場合には、反復行列のスペクトル半径を実際に0にする加速係数や順序付け方に言及し、従来の反復法の代表の一つであるSOR法に対し、理論的にも実用的にも飛躍的な発展を与えることができた。スペクトル半径を0にすること、事前誤差評価で高々n個で収束すること、行列のLU分解のピボットという三者の関係が、特別の加速係数の場合に明らかになり、次に、n回の反復よりも早く収束されるための反復の出発ベクトルを何にとるべきかという問題では、前述の順序を考えたGaussの消去法の計算解を取ることにより、1回の反復で収束することも可能であり、反復回数が行列の次数nに関係しない等の関係が事前誤差評価より導かれた。

研究成果

• [文献書誌] 星野弘喜: "Asymptotic behavion of glabal solutions for some reaction-diffusion systems" Nonlinear Analysis,Fleory.Methoes & Applications. 23. 639-650 (1994)
• [文献書誌] 山田義雄: "Glabal solutions for quasilinear parabclic systems with cross-diffusion effects" Nonlinear Analysis,Thery,Methods & Applications. (予定). (1995)
• [文献書誌] 山田義雄: "A certain class of reactions-diffusion systems with feedback effects" Advances in Mathematical Sciences and Applications. (予定). (1995)
• [文献書誌] 井戸川知之: "Analyticity and the best possille cinstants for Sobolev-Poincere in equelities" Advabces in Mathematcal Sciences and Applications. 4. 71-78 (1994)
• [文献書誌] 井上 弘: "Strong solutions of intral boundary value problems for best convection equations in non cylindrical domains" Nonlinear Analysis,Theory,Methods & Applications. 22. (1995)
• [文献書誌] 大谷光春: "Almost periodic solutons of periodic systems governed by subdifferential operators" Proceedings of the A.M.S.(予定). (1995)
• [文献書誌] 郡 敏昭: "Index of the Dirac operator on S^4 and the infinite dimevsional Grassmanian on S^3" Japanese Journal of Math.(予定).
• [文献書誌] 郡 敏昭: "Lie algebra of the Infinitesimal automorphison on S^3 and its centrel extension" Kyoto Jaurnal of Math.(予定).
• [文献書誌] 和田淳蔵: "Compact homomorphisms on algebras of continuous functiuns" Tokyo J. Math.18. (1995)
• [文献書誌] 田中直樹: "C-semigroups and the abstract Cauchyproblem II" International Conference on Evolution Equations,Glasgow. (予定). (1995)
• [文献書誌] 牧野慶吾: "Sufficieutly decomposable surfaces in the 3-sphere" Yokohama Math.J.42. 95-102 (1994)
• [文献書誌] 日野原幸利: "局所コホモロジー加群のcofinitenessとそのsocleの有限性について" 早大・教育学部学術研究. 43. (1995)