| 研究概要 |
われわれの研究対象は,スピノ-ダル分解と呼ぶいわゆる異常拡散現象の数値解析である.合金など空間的に均一な組成が時間発展とともに空間的に不均一に変化してゆく現象がその一例である.その現象のモデルを記述する方程式として,Cahn-Hilliard方程式が知られている.この方程式は非線形項をもつ拡散方程式の形をしているが、拡散項の係数が負であることおよび非線形項の非線形性がかなり強いことにより,数値計算によって正確な解を求めることがかなりむずかしい.
われわれは数学的考察と物理的考察を同時に行うことによって,Cahn-Hilliard方程式の数値解を求める差分スキームに対する安定性の条件を得た.それらの安定性を,F-安定および最適 F-安定と名付けた.この安定性に関してはすでに前年度に報告した.
次に,われわれはこの数値解の安定性をさらに詳細に調べるために,考えている物理系の自由エネルギーを利用することを考えた.この自由エネルギーは系の安定性の解析ではいわゆるリアプノフ関数の役割を果たすことが知られている.そして,安定性の解析過程で,より安定な差分スキームを得るためにはむしろこの自由エネルギーを積極的に利用すべきであることに気付いた.その結果,この自由エネルギーを出発点にとり,それを直接離散化することにより,Cahn-Hilliard方程式に対応する差分スキームを合理的に導出することができた.こうして得られた差分スキームを使えば,数値解はいずれの場合も安定に計算することができることが確かめられた.この方法は、Cahn-Hilliard方程式に限らず,広い範囲の拡散系および保存系の偏微分方程式に適用できることも分かった.次年度には,安定性および収束性に関してより数学的な解析を行い,結論を出したい.
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