| 研究概要 |
2種類の金属が最初に割合均等に混ざっていたものが時間とともに次第に分離していくような現象を異常拡散現象と呼ぶ.このような現象を記述する方程式としてCahn-Hilliard方程式が知られている.この方程式は非線形偏微分方程式で,かつ安易に数値解を計算すると解が不安定になる傾向が強いことが知られている.
本研究では,このような不安定現象を生じやすい非線形偏微分方程式に対して,適切な数値解を与える差分スキームを構成する新しい一般的な方法を開発した.その方法は,まず考えている物理系の局所自由エネルギーを適切に離散化し,次にその離散化エネルギーに離散的変分を適用して差分スキームを構成する,という手順から成る.その離散化の際,差分と和分は微分と積分と同様の関係をもつように定めてある.また,ここで使う離散的変分法が本研究の核心部分であり,この新しい離散的変分法によれば,もとの物理系がもつ全自由エネルギーの散逸性あるいは保存性など,重要な物理的性質を離散的に再現するようなスキームを構成することができる.
本研究では,数学的に閉じた具体的手順としてこの構成法を確立した.この方法に従えば非線形を含む広い範囲の偏微分方程式に対して差分スキームをたやすく構成することができる.さらにこの方法で構成された差分スキームには,安定性だけでなく,真の解への収束性も期待できることが示されている.実際,異常拡散問題を記述するCahn-Hilliard方程式については,安定性と収束性を証明した.これらの結果から,本研究は差分法の適用範囲を広げ,その発展に大きな寄与をなす研究であると結論づけてよいと考えられる.
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