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Robinson arithmetic をQとし、これにopen inductionを付加した体系をI_<open>、さらに、Qに制限したinductionを付加したIΣ_n IΠ_n IΔ_nは通常の意味、inductionの代わりに制限したleast number principleを付加したものをL_<open> LΣ_n LΠ_n LΔ_nとする。現在までにIΔ_nとLΔ_nが同値か否かがわかっていず、この問題を分析、解決するのが目標であった。
いま、Qにlinear orderの公理を付加した体系をPA^-、PA^-にopen inductionを付加した体系をOIとする。Shepherdson(1963)の証明を分析する事により、OI→L_<open>が「モデル論」的に示せる事はわかった。I_<open>→PA^-は簡単に得られるので、事実としてI_<open>→L_<open>が正しい事はわかった。この事は当研究に協力頂いた鹿児島短期大学の福崎氏が同短大の紀要にまとめた。今のところ「証明論」的な証明を得ていない。
さらに精密に「モデル論」的な証明を調べ、「証明論」的な証明を見つけようとしている最中である。これが明らかになれば、そこにIΔ_nとLΔ_nの間の関係を探るヒントが隠されていると思われる。引続き研究が必要である。
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