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成長する表面または界面が、滑らかでなく荒れた粗な形状を示すことが自然界や工学過程において良く観察される。それらが異方的なフラクタルである自己・アフィン性という共通の数理科学的構造を有していることに興味がある。成長する荒れた表面においては、表面の乱れがべき乗の法則にしたがって増大する。表面の自己・アフィン性を特定するフラクタル次元と共に、この動的指数を求めることが、この研究の目的になる。計算機シミュレーションの方法による研究が先行していたが、カーダーなど3人組が表面の運動を記述する確率的非線形偏微分方程式(KPZ方程式)を提案して以来、繰り込み群の方法など理論的な研究の成果が蓄積されてきた。KPZ方程式自体が普遍的であり理論的に興味深い対象である。例えば、渦なし流体や方向づけられた高分子の配向の問題などと深い関連が存在することが知られている。しかし、単純な方程式にもかかわらず、KPZ方程式は手ごわく多くの理論家の挑戦を退けている。このような現状にあるとき、我々はKPZ方程式の連続化に数学的な欠陥があることを発見した。この発見を契機に表面のフラクタル次元と動的指数の一般解を求めることに成功した。その結果はこの分野で信じられていたいくつかの結論を否定するものであり一部分の公表にたいしても賛否さまざまな反響があった。現在、数学的な精密化を行っている最中である。
一方理論的興味とは別に、KPZ方程式から導かれる指数は多くの実験結果と一致しないことが指摘されて久しい。最も有望な提案は、ランダムノイズが空間内の位置に依存する確率的非線形偏微分(KPZQ)方程式である。既に、前述した2種類の指数を空間次元の関数として表す一般公式を導出した。しかし、残された課題も多い。これらの問題を解決するのが次の目標である。
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