研究課題
基盤研究(A)
研究代表者(剱持)は部分的に正曲率な多様体内の極小部分多様体に関する交差性定理を発表した。また複素2次元複素空間形内の実2次元定曲率極小曲面の分類について研究して次のような成果を得つつある:高次元単位球面内のガウス曲率が一定であるような極小曲面はその座標関数に関して興味深い過剰決定系を導く。それは多くの数学者によって研究されてきて、現在では最終的解答が得られている。同種の問題が複素射影空間内の極小曲面に対して考えられるが、実空間形の場合と同じ方法は使えない。先ず、このような曲面の第2基本形式に関して微分幾何学的特徴を得ることができ、それを使ってケーラー関数に関する連立常微分方程式を得た。このシステムは更にガウス曲率の符号によって異なる1つの未知関数に関する連立常微分方程式系になる。このシステムを詳細に解析して、最終的に自明解以外には共通解がないことを示した。他の全ての場合にもそれぞれの工夫をすることにより、同様な結論が成立することがわかる。深谷 賢治はア-ノルド予想を一般な形で証明した。これは非常に注目すべき成果である。部分多様体の研究に関して、研究分担者の宮岡 礼子は極小曲面と戸田方程式の関係について深く研究した。山田 光太郎は3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面の理論の建設に貢献した。曲率と位相に関しては、研究分担者の陶山 芳彦は標準的球面のdiffeotopyの新しい構成法を与えた。また正曲率リーマン多様体に関してのある微分幾何的不変量の大きさについて評価を行なった。そして、これらの結果を用い0.654-pinchedリーマン多様体が標準的球面と微分同型であることを証明した。
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