代数系の幾何学的研究

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07454006
• 研究機関: 大阪大学
• 研究代表者: 宮西 正宜 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80025311)
• 研究分担者: 山根 宏之 大阪大学, 大学院・理学研究科, 講師 (10230517) ; 今野 一宏 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (10186869) ; 村上 順 大阪大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90157751) ; 臼井 三平 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90117002) ; 藤木 明 大阪大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80027383)
• キーワード: Abhyankar-Mohの定理 / 開代数曲面 / 超ケーラー多様体 / Log幾何学 / Hodge構造 / 量子不変量 / 一般型代数曲面 / BMW代数

研究概要

1.研究代表者の宮西正宜は、まずAbhyankar-Mohの定理とLin-Zaidenbergの定理を開代数曲面の分類論の立場から再証明を与えた。さらに、無限遠点に1座点をもつアフィン平面上の代数曲線の最小次数の埋め込みを曲線の種数によって分類した。また、Hilbertの第14問題について考察し、P.Robertsの反例の証明を簡略化した。
2.藤木 明は、ある種の超ケーラー商空間として得られる超ケーラー多様体を四元数多様体として自然に部分的にコンパクト化する方法を見いだし、そのコンパクト化の性質を調べた。また、同変コホモロジー群を用いてモーメント写像によるケーラー商空間のVariationを調べた。
3.臼井三平は、Log幾何学を使って消滅サイクルの回復ができることを証明した。応用として、退化したHodge構造の変形のZ構造およびモノドロミ-の記述を明確にした。
4.村上 順は、有限型不変量と量子不変量に対して普遍的な結び目のKhontsevich不変量を用いて、3次元多様体の不変量を構成し、その性質を研究した。また、この不変量に対し、位相的場の量子論を構成するとともに、その応用として、曲面の写像類群の族を構成した。
5.今野一宏は、代数曲面の非楕円的なペンシルにフォードインデックスを定義し、傾きの下限を調べる一般的な方法を定義した。併せて退化ファイバーの堀川インデックスも定義した。
6.山根宏之は、Ramの論文で与えてあるBMW代数の指標を計算する技術を獲得した。

研究成果

• [文献書誌] R.V.Gurjar: "On contractible curves in the complex affine plane" Tohoku Mathematical Journal. 48. 459-469 (1996)
• [文献書誌] M.Miyanishi: "Minimization of the embeddings of the curves into the affine plane" Journal of Mathematics of Kyoto University. 36. 311-329 (1996)
• [文献書誌] T.Sugie: "On Chern numbers of homology planes of certain types" Journal of Mathematics of Kyoto University. 36. 331-358 (1996)
• [文献書誌] H.Kojima: "On P.Roberts' counterexample to the fourteenth problem of Hilbert" Journal of pure and applied algebra. (to appear). (1997)
• [文献書誌] A.Fujiki: "Closures of orbits of C and C^★-actions" Osaka Journal of Mathematics. 33. 365-385 (1996)
• [文献書誌] A.Fujiki: "Nagata threefold and twistor space" Proc. of the Meeting on "Quaternionic Structures in Mathematics and Physics", Trieste. 161-170 (1996)
• [文献書誌] S.Usui: "Torelli型問題" 数学(岩波書店). (近刊). (1997)
• [文献書誌] S.Usui: "Recovery of vanishing cycles bylog geometry" Proc.Internat.Conference "Commutative Algebra and Algebraic Geometry" Hanoi,Lect.Notes in Math.(to appear). (1997)
• [文献書誌] J.Murakami: "The Casson invariant for a knot in 3-manifold" In: Geometry and Physics,Marcel Dekker. 459-469 (1996)
• [文献書誌] Thang Tu Quoc: "Kontsevich's integral for the Kauffman polynomial" Nagoya Mathematical Journal. 142. 39-65 (1996)
• [文献書誌] K.Konno: "A lower bound of the slope of trigonal fibrations" Internat.Journal of Mathematics. 7. 19-27 (1996)
• [文献書誌] K.Konno: "Even canonical surfaces with small K^2,III" Nagoya Mathematical Journal. 143. 1-11 (1996)