多粒子系の非線型微分方程式の研究

1995 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07454022
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 鵜飼 正二 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (30047170)
• 研究分担者: 柳田 英二 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (80174548) ; 高橋 渉 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (40016142) ; 賓来 正子 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 助教授 (00015588) ; 小島 定吉 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (90117705) ; 藤井 光昭 東京工業大学, 大学院・情報理工学研究科, 教授 (70016343)
• キーワード: 漸近理論 / 相対論的Euler方程式 / 古典力学的極限 / 離散ボルツマン方程式 / 衝撃波解

研究概要

1)離散Boltzmann方程式の進行波解と定常解
この方程式は多粒子系のモデルのうち比較的数学的構造が単純であるが、適当な条件の下では粒子衝突の本質的な性質をよく記述することが知られている。したがって粒子系の複雑な現象である衝撃波の安定性や境界層の構造などを研究する上で重要なモデルである。しかしこれまで初期値問題についての研究はなされていたが、これらについては特定のモデル(Broadwellモデル)以外の研究は行われていない。本研究において、離散モデルを一般的な条件の下で考察し進行波解の存在を証明した。まずRankine-Hugoniot条件が分岐理論により定式化できることを示し、さらに線形化作用素式のスペクトル解析を行い、これを用いて非線形方程式のスペクトル分解を得た。そしてその主要部が満たすべき方程式の可解性の必要十分条件がエントロピー条件であることを示し、縮小写像の原理により進行波解の存在を示した。この結果は平成7年6月のTouron(フランス)の国際会議の招待講演に選ばれた。またこの解析は境界層に関する定常問題にも応用可能であることがわかり現在研究を進めている。
2)Navier-Stokes方程式の境界値問題。
多重連結領域におけるNavier-Stokes方程式の定常問題はこれまで各境界における流入量の積分値が小さいという仮定の下でのみ定常解の存在が証明されていた。本研究においてはこの仮定をはずし、この積分値がある除外値以外ならば値が大きくとも解が存在することを示した。この除外値の全体は可算離散集合を作る。本研究は森本浩子(明治大学)との共同研究である。

研究成果

• [文献書誌] Tetu MAKINO and Seiji UKAI: "Local smooth solutions of the relativistic Euler equation" J. Math. Kyoto Univ.35. 105-114 (1995)
• [文献書誌] Tetu MAKINO and Seiji UKAI: "Local smooth solutions of the relativistic Euler equation, II" Kodai Math. J.18. 365-375 (1995)
• [文献書誌] Yoshihiro USAMI and Mituaki HUZII: "Estimation of coefficients of time series regression with a nonstationary error precess" J. Time Ser. Anal.16-1. 105-118 (1995)
• [文献書誌] S. KOJIMA: "Immersed geodesic surfaces in 3-manifolds" Complex Variables. (to appear).
• [文献書誌] M. TAKAHASHI: "Parallel reduction in λ-calculus" Information and Computation. 118. 120-127 (1995)
• [文献書誌] A. T. LAU and W. TAKAHASHI: "Invariant Means and Fixed Point Properties for Non-expansive Representations of Topological Semigroups" Topological Methods in Nonlinear Analysis. 5-1. 39-57 (1995)
• [文献書誌] Eiji YANAGIDA and Shoji YOTSUTANI: "Existence of Positive Radial Solutions to Δu + K(|x|)u^r=0 in R^n" Journal of Differential Equations. 115. 477-502 (1995)
• [文献書誌] T. OHTSUKI: "A polynomial invariant of integral homology 3-spheres" Math. Proc. Camb. Phil. Soc.117. 83-112 (1995)
• [文献書誌] Z. H. LI and T. SHIGA: "Measure-valued branching diffusions; Immigrations, excursions and limit theorems" J. Math. Kyoto Univ.35. 247-288 (1995)
• [文献書誌] K. UCHIYAMA: "Scaling limit for a mechanical system of interacting particles" CMP. (to appear).
• [文献書誌] T. MARUYAMA and W. TAKAHASHI: "Nonlinear and Convex Analysis in Economic Theory" Springer, 306 (1995)