研究課題
一般研究(B)
本研究の目的は、解析的偏微分方程式の発散形式的巾級数解のジュブレイ性を特徴付けること、及びその漸近解析の基礎を与えることである。本年度は、2年継続の研究計画の初年度に当り研究の端緒となる基礎理論の確立を目指し、以下の様な研究を行った。特異点を持つ常微分方程式の研究において、形式巾級数解の収束、発散の問題は、確定特異点、不確定特異点の分類の問題と関係して重要な問題であった。この問題は偏微分方程式においても非常に重要であるが、今までの所、オイラー型の特異点を持つ場合には、常微分方程式との類似が比較的簡単に得られること、一般の場合には柏原・河合・ショストランドによる形式解の収束の問題が分かっているにすぎなかった。研究代表者の三宅正武は吉野正史(中央大学)と共同で、2変数の場合ではあるがかなり一般の特異型偏微分作用素に対して形式ジュブレイゾク空間におけるフレッドホルム性(指数が零の場合)を特徴付ることに成功した。この結果、形式巾級数解の収束性に関して、柏原・河合・ショストランドとは違った形の十分条件を与える事が出来た。また、証明のために、ハ-ディ空間上のテプリッツ作用素の議論を援用すると言う、この種の問題では今までに用いられなかった新しい方法論を展開した。この方法は、一般の常微分方程式系の場合の指数定理の証明にも有効で、指数公式がテプリッツ表象の指数公式と一致することを証明する事が出来た。漸近解析に関しては、典型的なモデルとして熱方程式を取り上げ、初期値問題の形式解がボレル総和可能である為の必要十分条件を与えることに成功した。また、ボレル和の解析接続にり、熱核の新しい導出法を与えた。
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