準線形双曲・楕円型連立方程式系の初期値問題に関する研究

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07454029
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 川島 秀一 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (70144631)
• 研究分担者: 谷口 説男 九州大学, 大学院・数理学研究科, 助教授 (70155208) ; 國田 寛 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (30022552) ; 隠居 良行 九州大学, 大学院・数理学研究科, 講師 (80243913) ; 宮川 鉄朗 神戸大学, 理学部, 教授 (10033929) ; 吉川 敦 九州大学, 大学院・数理学研究科, 教授 (80001866)
• キーワード: 双曲・楕円型方程式系 / 輻射気体 / 初期値問題 / 時間大域解 / 漸近挙動 / 衝撃波 / 進行波解

研究概要

輻射気体の運動は圧縮性Euler方程式と熱流に対する楕円型方程式の連立系で記述される。その最簡約版モデルは非粘性Burgers方程式と楕円型方程式の連立系である。本年度はこれらの方程式系とそれらを含む一般の双曲・楕円型連立系に対して総括的な研究を行い、以下のような成果をあげるとともに、国内外の研究集会に積極的に参加し本研究成果の発表を行った。
1.最簡約版モデルである非粘性Burgers方程式と楕円型方程式の連立系に対し、1点でのみ跳びをもつ階段関数を初期値とするリーマン問題を考察し、その弱解の時間大域的存在と時間無限大における漸近挙動を明らかにした。すなわち、初期値の不連続点における跳びが小さければ弱解が時間大域的に存在し、しかもその弱解の不連続点の集合は時間・空間平面上の1直線になることを示した。さらに、解の不連続点における跳びは時間とともに指数的に減衰し、時間無限大において、解は滑らかな衝撃波形の進行波解に漸近収束することを示した。
2.一般の双曲・楕円型連立系に対する初期値問題を考察し、時間大域解の存在と時間無限大における漸近挙動を明らかにした。まず、エントロピー関数の数学的定義を与え、エントロピー関数の存在と系の対称化可能性の同値性を示した。次に、この事実に基づき系に対する安定性条件の下で、Sobolev空間に属する小さい初期値に対する時間大域解の存在を示した。また、対応する線形系の半群の減衰評価を求め、それを利用して解の時間無限大における減衰評価を与えた。さらに、その減衰評価を利用して、解が対応する双曲・放物型連立系の解で漸近的に近似出来ることを明らかにした。これらの結果はすべて輻射気体の方程式系に応用可能である。

研究成果

• [文献書誌] Shuichi Kawashima: "Smooth shock profiles in viscoelasticity with memory" Studies in Advanced Mathematics. 3. 271-281 (1997)
• [文献書誌] Shuichi Kawashima: "Shock waves for a model system of the radiating gas" SIAM J.Math,Anal. (掲載予定).
• [文献書誌] Shuichi Kawashima: "Cauchy problem for a model system of the radiating gas:weak solutions with a jump and classical solutions" Math,Models Meth,Appl,Sci.(掲載予定).
• [文献書誌] Hiroki Hoshino: "Exponentially decaying component of a global solution to a reaction-dittasion system" Meth,Models Meth,Appl,Sci.(掲載予定).
• [文献書誌] Tetsuro Miyakawa: "On L^1 stability of stationary Navier-Stokes flows in R^n" J,Math,Sci.Univ.Tokyo. 4. 67-119 (1997)
• [文献書誌] Tetsuro Miyakawa: "Decay properties of weak solutions to a perturbed Nevier-Stokes system in R^n" Adv,Math,Sci.Appl.7. 741-770 (1997)