非線形偏微分方程式の解の構造の解析

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07454031
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 俣野 博 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (40126165)
• 研究分担者: 岩崎 克則 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (00176538) ; 松本 幸夫 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (20011637) ; 楠岡 成雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (08640254) ; 落合 卓四郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90028241) ; 堤 誉志雄 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10180027)
• キーワード: 非線形偏微分方程式 / 定性的理論 / 拡散方程式 / 放物型方程式 / 無限次元力学系 / アトラクター

研究概要

俣野は空間1次元の非線形放物型方程式が定める無限次元力学系の構造を調べ,その大域アトラクターが有限次元多様体の構造をもつことを示した。この結果は,解の長時間的挙動が常微分方程式の有限系で本質的に記述できることを示唆しており,定性的理論の観点から重要である。なお,アトラクターの有限次元性については1980年代半ばから盛んになった慣性多様体の理論がよく知られているが,同理論が適用できる方程式のクラスは限られており,本研究で扱った方程式には使えない。この他,俣野は退化した拡散方程式の解の挙動を研究し,不安定平衡解の不安定多様体のハウスドルフ次元が常に無限大であることを明らかにした。現在,俣野は空間周期的な係数を持つ非線形拡散方程式の進行波の性質の解明に取り組んでおり,部分的な成果が得られている。
堤は,マクスウェル方程式とシュレディンガー方程式を組み合わせた数理モデルを研究し,解の一意性や大域的存在についての結果を得た。楠岡は確率論の立場から数理ファイナンスの問題を研究しており,一定の成果を得た。この問題に現れる偏微分方程式について、今後俣野らとの共同研究の可能性を探りつつある。

研究成果

• [文献書誌] 俣野博: "The global attractor of semilinear parabdic equations on S'" Discrete and Continuous Dynamical Systems. 3. 1-24 (1997)
• [文献書誌] 俣野博: "Dynamical structure of some nonlinear degenerate diffusion equations" J.Dynamics and Differential Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] 堤誉志雄: "Space-time estimates for null gaugeforms and nonlinear Schrodinger equations" Differential and lntegral Equations. (掲載予定).
• [文献書誌] 楠岡成雄: "Limit theorem on option replication with transaction costs" Ann.Applied Prob.5. 198-221 (1995)
• [文献書誌] 楠岡成雄: "A remark on American Securities,in ″Ito's Stochastic Calcutus and probability Theory″" Springer Berlin. 213-231 (1996)