P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

1995 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 07640078
• 研究機関: 早稲田大学
• 研究代表者: 橋本 喜一郎 早稲田大学, 理工学部, 教授 (90143370)
• キーワード: Hecke環 / 四元数環 / Type Number / 保型形式 / モジュラー曲線 / theta 級数 / 次元公式 / 超楕円曲線

研究概要

1有理数体上の正定値四元数環をB,その判別式をqとする.qと素な自然数Nに対して,level(q,N)のsplit order(極大と限らない整数環)が定義される。その同型類の個数(Type number)T(q,N)及び左(右)イデアル類数H(q,N),は有限でq,Nのみで決まる重要なBの不変量である.類数H(q,N)はlevel qN,重さ2の保型形式の空間の次元と一致し,その空間のBrandt行列及びtheta級数による正確な記述が知られている。これより,保型形式やモジュラー曲線,楕円曲線に関する各種の性質および,これらと関連する諸問題が四元数環のEichler orderの数論に翻訳され,前者の研究の重要な手段を与える。
(1)申請者は今回の研究によって,一般のsplit orderに対してType number T(q,N)をlevel qN,重さ2の保型形式のうち,Atkin-Lehnerによるinvolution W_p(P|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し,その証明を与えた。Eichler型orderの場合には,この結果は,Heck環の表現の分解を調べることにより,理論的な解釈を与えることが出来た。
(2)さらに,これらの結果を応用して,theta級数による保型形式の構成を利用して,モジュラー曲線の自己同型群による商として得られる曲線が超楕円的になるものを分類する問題について,Nが平方因子を持たない場合の完全な解決を得た。

研究成果

• [文献書誌] KI-ICHIRO HASHIMOTO: "Shimura curves as intersection of Humbert surfaces and defining equations of QM curves of genus two" Tohoku Math. J.47. 271-296 (1995)
• [文献書誌] KI-ICHIRO HASHIMOTO: "Explicit form of Quaternion modular embeddings," Osaka Math. J.32. 533-546 (1995)
• [文献書誌] KI-ICHIRO HASHIMOTO: "On Brandt matrices of Eichler orders, Algbras," Memoirs of the School of Sci. and Engn. Waseda Univ.59. 143-165 (1995)
• [文献書誌] KI-ICHIRO HASHIMOTO: "On Type Numbers of Split Orders of Definite Quaternion Algebras" Manuscripta Math.88. 525-534 (1995)
• [文献書誌] KI-ICHIRO HASHIMOTO: "Hyperelliptic Modular Curves X^*_0(N)with Square-free-Levels" Acta Arithmetica.(to appear).