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今年度の研究計画の中心は、コンパクトで局所共形エルミート平坦なエルミート多様体の具体的な構成であった。その方法の1つにあげた2つの概接触リーマン多様体のリーマン直積により、コンパクトではないが具体例を構成できたのでその報告をする。
森本氏は2つの概接触多様体の直積多様体上に概複素構造を定義し、この概複素構造が可積分であるための必要十分条件は2つの概接触多様体が共に正規であることを証明した。また、2つの概接触リーマン多様体のリーマン直積計量は森本氏の概複素構造と適合する。したがって、2つの正規な概接触リーマン多様体のリーマン直積多様体は1つのエルミート多様体である。
コンパクトな正規概接触リーマン多様体の具体例として奇数次元の球面(佐々木多様体)がある。よって、2つの奇数次元球面の直積(Calabi‐Eckmann多様体)に局所共形エルミート平坦な構造が入るかどうかに興味をもつが、上の方法では入らないことが分かった。但し、奇数次元球面と円との直積(Hopf多様体)には上の方法で局所共形ケーラー平坦な構造が入る。
コンパクトでない正規概接触リーマン多様体の具体例としては剣持多様体がある。2つの剣持多様体のリーマン直積はエルミート平坦な構造をもつことが分かった。また、佐々木多様体と剣持多様体のリーマン直積には局所共形ケーラー構造が入ることも分かった。特に、定曲率1の佐々木多様体(例えば、奇数次元単位球面)と定曲率-1の剣持多様体のリーマン直積には局所共形ケーラー平坦な構造が入る。剣持多様体の知られている例は直線と複素ユークリッド空間のワープ積であるが、これは定曲率-1をもつ。しかし、この場合の定曲率1の佐々木多様体とのリーマン直積計量は大域的な共形ケーラー平坦計量であることが分かる。
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