| 研究概要 |
研究代表者は上記の課題について研究を行ない、平成8-9年度の研究期間中に次のような成果を得た。
まず、自明でないトポロジーを持つ多様体上として単純なクラスとして等質空間G/Hを考察した。その結果、等質空間G/H上では群G上の経路積分に基く量子力学の構成がDiracの拘束条件つき量子化の見地から可能であり、そこでは本質的にBerry位相として誘導されるものと同等なYang-Mills場が誘導されること、即ち従来より知られていたパラメター空間におけるBerryの誘導ポテンシャルと同等で、数学的には正準接続と呼ばれるものになっていること示した。次に、これとは別のクラスのモデルとして戸田格子模型を考察し,この模型をSL(n)群上の模型からHamiltonian reductionの方法によって構成した時の系の時間発展の様子および位相空間の性質を詳しく調べた。特にn=2,3,4の場合について位相空間の構造を完全に決定した。さらにSL(2)上のLiouville模型の場合にはその量子力学を構成することに成功し、それがある角度パラメターによって特徴づけられることを明らかにした。
これとは別に、一般の自明でないトポロジーを持つ多様体上の経路積分量子化法を幾何学的見地から構成するための手がかりとして、等質空間上での経路積分法を研究した。その結果、その経路積分の形は従来の多重連結空間上の経路積分と類似した。部分群Hの既約表現による重みつき経路積分になることを証明し、また同時にこれが上記のDiracの拘束条件つき量子化による等質空間上の量子力学の解釈をも再現できることを明らかにした。
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