研究課題
今年度は 1:非線型分散型方程式に関する逆散乱問題、2:Scaling作用素に関するソボレフ型不等式 について研究し、それらの成果を学術雑誌へ投稿し、研究集会等で発表した。以下、これら2件の研究成果を列記する。1:線型摂動項並びに非局所的非線型項を持つシュレディンガー方程式、及び、半相対論的ハートリー方程式に関する散乱の逆問題を考察した。本研究における散乱の逆問題とは「摂動項を構成する未知ポテンシャルを散乱データから再構成する」ことである。今年度の成果は「ポテンシャルが、未知パラメータを付随する湯川型ポテンシャルである場合、散乱データを用いることで未知パラメータを同定する公式を得た」ことである。この結果は、考察した方程式に関連の或る物理現象に於いて、未知の物理現象パラメータを解明する問題への応用が期待される。証明中重要となる概念として、伸張パラメータの解析、強レゾルベント収束の議論、ソボレフ不等式の最良定数等が挙げられる。なお得られた結果は学術雑誌「Comm. Partial Differential Equations」に掲載予定である。2:本研究は北海道大学の小澤徹氏との共同研究である。Scaling作用素(以下S)は、伸張作用素の生成作用素となる重み付き微分作用素であるが、本研究ではまず「ユークリッド空間の任意の開集合において、Sに関するソボレフ型不等式が成り立つこと」を示した。この不等式はハーディの不等式と深い関連があり、調和解析学や偏微分方程式論に於ける諸問題への応用が期待される。更に、Sに関するソボレフ型不等式を応用することで、或るハーディ型不等式を改良することが出来た。なお得られた結果は学術雑誌「Communications in Contemporary Mathematics」に掲載予定である。
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