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A型アフィンヘッケ環におけるLascoux-Leclerc-Thibon-Ariki理論は、A型アフィンヘッケ環の有限次元表現の圏のK群に、ある量子群の作用を実現することで、既約表現や組成重複度を量子群の表現の大域基底を用いて記述するものである。これをB型アフィンヘッケ環に拡張することが本研究の目的である。本年度は、主として量子群の表現論の立揚から次の結果を得た。
まず第1に、「対称結晶」と呼ばれる概念を導入した。さらに、ある特別なカッツ・ムーディー代数の場合に、対称結晶の構造をmultisegmentと呼ばれる組合せ論的な対象を用いて記述した。これは、B型アフィンヘッケ環の表現論サイドで見ると、誘導-制限分岐則を与えていると予想できるものであり、B型アフィンヘッケ環の表現の圏のK群に作用するべき量子群を与えたという点で、本研究にとって重要なステップである。
第2に、箙と呼ばれる向き付けられたグラフを利用して、対称結晶を与える大域基底の幾何学的な実現を得た。B型アフィンヘッケ環の表現論サイドで見ると、既約表現の射影被覆にあたるものを幾何学的にパラメトライズできたことになる。B型アフィンヘッケ環の既約表現は、旗多様体の幾何を用いた構成しか知られておらず、この結果により両者の幾何学的な比較が可能になった。これも本研究にとって重要な成果であると考えられる。
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