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研究代表者は、柏原正樹氏との共同研究によって定式化されたB型アフィンヘッケ環のGrothendieck群の構造に関するLascoux-Leclerc-Thibon-有木型予想を提出した。この予想の証明へ向けて、本年度は箙を用いた幾何学的表現論により対称結晶とそれに付随する大域基底を構成する内容の論文を執筆した。これは、International Mathematics Research Notices誌に採録が決定している。また、下記のTambara Inst.Math.Sci.での講演などを通じ成果を公表した。
この論文では、Lusztigによる箙を用いた量子展開環とその大域基底の幾何学的構成をモデルとし、固定点を持たない対合を持つ箙に対して、その表現のモジュライ空間とその上の単純偏屈層を構成した。さらに、これらが対称結晶とそれに付随する大域基底を与えることを証明した。この対称結晶やそれに付随する大域基底は、B型アフィンヘッケ環のモジュラー分岐則や組成重複度を記述していると予想しているものでじある。
また、この研究のA型アフィンヘッケ環版において、アフィンヘッケ環の幾何学的表現論と箙を用いた量子群の幾何学的表現論が有用であったことを想起すれば、本研究により、B型アフィンヘッケ環に対するLLTA予想の証明に欠かすことの出来ない重要な結果が得られたと言える。
今後は、加藤周氏によって得られているB型アフィンヘッケ環の幾何学的表現論と今回得られた対称結晶の幾何学的構成を比較することにより、B型アフィンヘッケ環に対するLLTA予想の証明を行うことができると思われる。
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