研究課題
我々の行った研究は大きく分けると次のように大別できる。すなわち、楕円型方程式の解の一意接続性、シュレーディンガー型方程式の解の局所的・大域的構造、特に超局所解析的方法による平滑化効果ならびに特異性の伝播についての基礎構造の研究、対称化法による比較定理とその応用、実関数論的方法による非線形楕円型・放物型方程式および変分問題の研究、最後に偏微分方程式の解の基礎構造に深く関わるその他の諸問題について研究である。以下その主なものについてのべる。大鍛治は特異なポテンシャルを持つDirac方程式およびシュレーディンガー方程式に対する解の強一意接続性、および一意接続性についてDe Carliと共同研究を行なった。特に、Dirac作用素について、ポテンシャルがスカラーのCoulomb型の場合には常に強一意接続性が成り立つことを示し、従来の結果を改良した。さらに、一般のポテンシャルの場合についても考察を行った。その結果マトリックスポテンシャルが正・負各々の固有状態に掛け算作用素として働く際、これらの間の遷移が少ないという仮定が重要であることを明らかにした。さらに、大鍛治は特異性の伝播の研究に有効な新しい方法、すなわちWigner変換を通じて対称化された波束(FBI変換)を導入することにより、特異性の伝播の問題に非常に有効な新しい方法を開発した。これをシュレーディンガー方程式に適用することにより、遠方で2次増大度ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の解に対するの特異性の伝播ならびに平滑化効果の詳細な情報を得ることに成功した。また土居は多様体上におけるシュレーディンガー作用素および分散型作用素の解の平滑化効果について研究を行った。
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