古典群,量子群,ヘッケ環の表現論と組合せ論

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 08211102
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 寺田 至 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (70180081)
• 研究分担者: 岡田 聡一 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (20224016) ; 有木 進 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (40212641) ; 田中 洋平 東京商船大学, 商船学部, 助教授 (00135295) ; 小池 和彦 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70146306)
• キーワード: 古典群 / 量子群 / ヘッケ環 / 表現論 / 組合せ論 / 指標 / シューア関数 / ロビンソン・シェンステッド対応

研究概要

本年度、ヤング図形、ロビンソン・シェンステッド対応、シューベルト多項式、ニルコクセタ-環などに関する組合せ論を研究しているセルゲイ・フォミン氏の来日の機会に講演を依頼し、特に量子シュベルト多項式および量子群の正準基底と総正行列の双方に現れる変換公式の間の類似に関して、興味深い示唆を得ることができた。
古典群の表現の組合せ論的記述においては、直交群のスピン表現および差指標に関する厳密な扱いがまとまり、また既約指標に主SL(2)への制限に相当する特殊化を行った場合を始め、表現の次元公式のいくつかのq類似が得られている。また古典群の指標の等式の証明にも登場する小行列式の和の公式の、リトルウッドの公式のいくつかへの応用が得られた。
対称群の表現の多項式環上の実現で、最低次数より高い次数の実現を具体的に与える多項式の記述がまとまった。またA^<(1)>_1型アフィンリー環の表現を手掛りに破約シューア関数の間の関係式を得、対称群やヘッケ環の分解行列に情報を与えた。レス積型の複素鏡映群の分解行列そのものについても進展を見た。リー環などの制御理論への応用にも成果があった。
ロビンソン・シェンステッド対応の類似をsp(2n,C)のWeil表現のテンソル積のうちやさしい部分に対し構成した。また昇降盤とブラウア-図形の組合せ論的対応に幾何的な意味を与えた。

研究成果

• [文献書誌] 小池和彦: "古典群の表現について" 数学. 48. 242-258 (1996)
• [文献書誌] 小池和彦: "Principal specializations of the classical groups and q-analogues of the dimension formulas" Advances in Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] 小池和彦: "Representations of spinor groups and the difference characters of SO(2n)" Advances in Mathematics. (掲載予定).
• [文献書誌] 小池和彦: "On representation of the classical groups" Suugaku Expositions. (掲載予定).
• [文献書誌] 有木進 寺社友秀 山田裕文: "Highes Specht polynomials" Hiroshima Mathematical Journal. (掲載予定).
• [文献書誌] 有木進: "Generic pole-assignment via dinamic feedback" SIAM Journal on Control and Optimization. (掲載予定).
• [文献書誌] 有木進 中島達洋 山田裕文: "Reduced Schur functions and Littlewood-Richardson coeffrcients" Journal of the London Mathematical Society. (掲載予定).
• [文献書誌] 有木進: "On the decomposition numbers of the Hecke algebra of G(m,l,n)" Journal of Mathematics,Kyoto University. (掲載予定).
• [文献書誌] 石川雅雄 岡田聡一 若山正人: "Applications of minor-summation formulas I:Littlewood′s formulas" Journal of Algebra. 183. 193-216 (1996)