非線形編微分方程式の幾何と解析

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 08454011
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 泉屋 周一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80127422)
• 研究分担者: 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161) ; 清原 一吉 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (80153245) ; 小澤 徹 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70204196) ; 儀我 美一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70144110) ; 山口 佳三 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (00113639)
• キーワード: Hamilton-Jacobi方程式 / 保存則の方程式 / 粘性解 / 衝撃波 / ファセット面 / ギンツブルクランダウ方程式 / ラグランジ安定性 / コホモロジー

研究概要

当研究では準線形一階偏微分方程式の解曲面の特異点や空間次元一次元の場合のHamilton-Jaobi型方程式の粘性解のgenericな分岐の分類と言う当初の目的のうち低次元の場合をほぼ達成した.また単独保存則の方程式のエントロピー解の衝撃波の分岐を記述するための準備として幾何学的枠組みを構成し多価解の局所的分類を行った。また、粘性解の理論を、非局所的効果を含む退化方物型方程式(2階)に、空間一変数の場合であるが、粘性解の理論を拡張する事に成功した.この理論はファッセト面を持つ結晶成長問題の記述に重要である.またリーマン幾何的な見地から可積分測地流を持つリーマン多様体の構造を詳細に調べ多くの新しい例をあたえた.さらに、3次元空間における回転対称領域の場合に,ギンツブルクランダウ方程式の安定解の存在を示し特異摂動領域において単独半線形放物型方程式の定常解の不安定多様体および局所不変集合の特徴付けを行った.一方、シンプレクティック多様体へのコランク1以下のアイソトロピック写像の空間に対するトム・マザ-型の横断性定理を証明し、ある種の加群を用いて、アイソトロピック写像のシンプレクチック安定性とラグランジュ安定性のマザ-型およびア-ノルド型特徴付けを与えた.位相幾何的な成果としては、超楕円写像類群の有限体上のコホモロジーを計算する新しい初等的な道具を開発した。これらの成果は幾何学と解析学が有機的に関係しあう境界領域に関する成果であり、今後具体的にそれらの関係を通し方程式に応用していく事が望まれる.

研究成果

• [文献書誌] S.IZUMIYA: "Singularities of solution surfaces of quasilinear first order partial diffierential equations" Geometriae Dedicata. 64. 331-341 (1997)
• [文献書誌] S.IZUMIYA: "Bifurcations of singularities for viscosity solutions of Hamilton-Jaiobi eguations of one space variable" Bull. Science Math.121. 619-667 (1997)
• [文献書誌] S.IZUMIYA: "Geometric singularities for solutions of single conservation laws" Archive for Rational Mechanics and Analysis. 139. 255-290 (1997)
• [文献書誌] K.Yamaguchi: "On the Rigidity of Differential systems modelled on Hermitian symmetric Spices and Disproufs of a Conjecture cencerning Modnlar Interpretatunig of" Advanced Studies in Pure Math.25. 318-354 (1997)
• [文献書誌] S.JIMBO: "On the existonce of nontrivial stable solution to Ginzburg-Landau equation" Nonlinear Anal:TMA. 30. 811-817 (1997)
• [文献書誌] K.KIYOHARA: "Two alasses of Kiemarmian manifolds whose geodesic flows are integrable" Memoirs of AMS. 130/169. 1-143 (1997)
• [文献書誌] G.ISHIKAWA: "A criterion for finite topological determinacy of smooth map-germs" Proc.London Math.Soc.74・3. 662-700 (1997)
• [文献書誌] N.KAWAZUMI: "Homology of hyperellipac mapping class groups for surfaces" Topology and its appl.76. 203-216 (1997)
• [文献書誌] T.OZAWA: "Lowenergy scattering for nonlinear Schrodinger equations in fractional sobolei space" Reviews in math.Phys.9. 397-410 (1997)
• [文献書誌] P.AVILES: "Distance functions and defect energy" Proc.Royal.Soc.Edinburgh. 126A. 923-938 (1996)
• [文献書誌] T.FUKUI: "Mostion of a graph by non smooth weighted curvature" Proc.of the first World congress of nonlinear analysis.92. I. 47-56 (1996)
• [文献書誌] N.KAWAZUMI: "An infinitesimal approach to the stable cohomokgy of the mootuli of Riemann snrfaces" Topology and Teich muller Spaces,World Scientific. 1. 79-100 (1996)
• [文献書誌] G.ISHIKAWA: "Symplectic and Lagrange stabilities of open Whitney umbrellas" Invent.Math.126・2. 215-234 (1996)
• [文献書誌] T.OZAWA: "On the nonlinear Schrodinger Equations of Derivative Type" Indiana University Math.Tour.45. 137-163 (1996)
• [文献書誌] N.KAWAZUMI: "An infinitesimal approach to the stable cohomokgy of the mootuli of Riemann snrfaces" Topology and Teich muller Spaces,World Scientific. 1. 79-100 (1996)
• [文献書誌] G.ISHIKAWA: "Trans versalrties for Lagronge singularities of isotropic mappings of co rankone." Banach Center Publications. 33. 93-104 (1996)
• [文献書誌] S.JIMBO: "Ginzburg-Landau equation and stable solutions in a rocational domain" SIAM.J.Math.Anal.27. 1360-1385 (1996)
• [文献書誌] S.JIMBO: "Stable solutions with zero to the Ginzburg-Landau equation with Neumann boundary condition" J.Differential Equations. 128. 596-613 (1996)
• [文献書誌] 儀我美一: "動く曲面を追いかけて" 日本評論社, 133 (1996)