| 研究分担者 |
吉田 伸生 京都大学, 大学院理学研究科, 助手 (40240303)
野村 隆昭 京都大学, 大学院理学研究科, 助教授 (30135511)
谷口 雅彦 京都大学, 大学院理学研究科, 助教授 (50108974)
岩崎 敷久 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (70027374)
渡辺 信三 京都大学, 大学院理学研究科, 教授 (90025297)
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| 研究概要 |
ループ群上の確率解析は,確率微分方程式やDirichlet形式を通して研究が進んできている.特にループ群は無限次元の多様体の構造をもつことから無限次元空間上の解析の成果が有効に用いられ,また逆にループ群への応用が契機となり,無限次元空間上の解析が発展してきている.
ループ群上では,確率微分方程式の解を終点で条件付けた確率測度が定義され,L^2空間等を通じて解析の基本となっている.この測度から,興味ある作用素が様々に定義される.
共変微分や,その共役作用素,それらの合成としてLaplace作用素など有限次元と同様な作用素が自然に定義される.これらのLaplace作用素に対するスペクトルの性質は大きな興味がもたれているが,対数Sobolev不等式が成立すれば、スペクトルギャップの存在がいえることが分った.また会田茂樹により,対数Sobolev不等式よりも弱い形のものでも同様のことが示せることが明らかにされた.この他にも,局所コンパクトを仮定しないDirichlet形式の理論も精密化され,ループ群の解析に,一般化されたキャパシティーの理論が有効であることが分かってきた.またループ群は複素構造をもち,そこからまた違ったタイプのLaplacianが定義される.この作用素に対しても,Ricci曲率などの基本的な量を計算することが出来た.吉田伸生は無限次元的な観点から,Gibbs測度の性質を,対数Sobolev不等式の観点から,指数関数的減少について多くの成果を得たが,それらは無限次元の観点からループ群の研究にも関連する.
これら,様々な観点からの研究者と,科学研究費による研究集会をもち,情報交換を通じてさらに研究を深化させることが出来た.
また最近ではコンピュータによる情報検索や整理も有効に利用できるようになってきており,設備の充実が研究の上で重要になってきている.
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