| 研究分担者 |
向井 茂 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (80115641)
浪川 幸彦 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (20022676)
北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686)
梅村 浩 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022678)
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| 研究概要 |
Wilseの仕事に触発され岩沢理論と代数体の場合のラングランヅ予想に取り組み始めた.そこではガロア表現の普遍変形環とヘッケ環の同一視(メーザー予想と呼ばれる)が中心的な役割を果たす.
一般の総実代数体上のGL(2)から作られたヘッケ環が完全交差性であること及びそれがあるmod pモデュラー表現の普遍変形環であることを示した.
この仕事で本質的であったのはテイラーとワイルスの議論において本質的に使われていたコホモロジー群がヘッケ環上自由加群であるという性質がより緩い公理系から導かれることを示したことにある.この公理系をTaylor-Wiles系と名付けた(F.Diamondも同様のアイディアを独立に見つけている).Taylor-Wiles系を構成することにより志村曲線を使って一般の総実代数体でもヘッケ環が普遍変形環であることを証明した.この結果をレヴェルを降下させる議論(特に、次数が偶数の時にMazur原理といわれるものを示すのが難しい)と結びつけるとガロア群の2次元1-進表現が保型表現から作られていることがかなりの場合に示せる.特に,そのHasse-Weil L-関数が解析接続及び関数等式を持つことが証明される.これを用いると谷山-志村予想の一般化をかなりの場合に示すことができる.以上の研究については最近の発展を報告したもの以外にも,詳細をプレプリント(Deformation rings and Hecke algebras in the totally real case)として公表,投稿しており,またこの他にも2編準備中である.
対応するガロア群の剰余表現が既約でない場合にも総実代数体を固定したときに普遍変形環との関係が導ける可約な表現が無限個存在することを証明した.
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