一階偏微分方程式とWeb幾何学

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 08640077
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 中居 功 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (90207704)
• 研究分担者: 皆川 宏之 北海道大学, 大学院・理学研究科, 講師 (30241300) ; 諏訪 立雄 北海道大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40109418) ; 佐藤 肇 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (30011612) ; 河澄 響矢 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30214646) ; 石川 剛郎 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (50176161)
• キーワード: WEB / 葉層 / CHERN接続 / 可積分系 / 複素力学系 / 非可解群作用 / 一階偏微分方程式 / 高階偏微分方程式

研究概要

Webの微分幾何学は葉層構造の重ね合せにたいしてアフィン接続を定義し、それと幾何構造との対応を調べるものである。しかし一般に自然なアフィン接続が唯一定義されることはなく、いくつかのアフィン接続が同時に定義される。私は本研究でそれらが全て一致するものを葉層が余次元1の場合に決定した。これはPoincare,Reidemeister,Mayerhoferらの古典的結果を一般化するものである。また私は一般にそれらの平均曲率形式が1930年代にBlachkeにより定義されたものに一致することを示した。このことはある種の可積分系の幾何学に応用される。ホロノミックなR^n上の一階偏微分方程式はその上の射影余接空間のn次元部分多様体によりあたえられ、その上で微分方程式は接触形式により与えられる。ここでWeb幾何学を応用することで多様体上のBott接続はChern-Goldberg接続と呼ばれる多様体のアフィン接続に拡張する。私の一連の結果により、その接続形式を底空間R^nに射影して平均したものがBlaschkeの曲率形式を与える。この曲率形式はある場合に微分方程式のモジュライ空間と1対1に対応していることがわかった。これらのことはUniversite Paul Sabatier,Toulouseで1996年12月2-6日に行われたWeb幾何学のシンポジウムJournees sur les tissusで発表され、それのレクチャーノートとして出版のために準備中です。
また別の研究方向では実解析的境界を持つ複素平面領域の分類の境界における局所問題を複素力学系の手法で解決した。

研究成果

• [文献書誌] 中居 功: "Curvature of currilinear 4-webs and VariAtion on a theorem of Poincore,Mayrhsfar and Reidemeister" Commentarii Math.12(in press). (1998)
• [文献書誌] 佐藤 肇: "Thirh order ordinary differential eqvations and Legendre connections" J.Math.Soc.Japan. 50(in press). (1998)
• [文献書誌] 諏訪 立雄: "Residne of complex amalytic foliations relative to singular invariant subvarieties" AMS/IP studies in Advanced Math.5. 230-245 (1997)
• [文献書誌] 河澄響矢: "Homology of hyperelliptic mapping class groups for surfaces" Topology and its appl.76. 203-216 (1997)
• [文献書誌] 中居 功: "WEB幾何学:ミクロコスモス" 竜谷大学科学技術共同研究センター講義録. 2. 29-98 (1996)
• [文献書誌] 石川 剛郎: "Symplectic and Lagramge stabilities of open Whitney Uasnbrellas" Invent.Math.126-2. 215-234 (1996)
• [文献書誌] 諏訪立雄: "InAices of vector fields and Residues of holomorphic foliations" Hermann Publisher, 203 (1998)