研究課題
本件は変分法、常微分方程式手法、関数解析・スペクトル理論を主体として、非線形楕円型方程式の固有値問題、特に、いくつものパラメーターを含む非線形固有値問題の変分固有値の漸近的性質の解析に焦点を絞って研究を進めた。研究対象である変分固有値を定義するために用いた枠組みは、2種類の変分法である。具体的には、まず第一に、2つのパラメーターを含む固有問題に対して、E. Zeidlerによって導入された一般的等高集合上で変分法を用いて変分固有値を定義する。第二に、L^P-空間の球面を等高集合とし、この上で変分法を用いて変分固有値を定義する。この変分構造に加えて、さらに非線形Scalar Field方程式のGround State解の性質を組み合わせて研究を進めていくことが有効であることが明らかになった。特に、2つのパラメーターを含む非線形楕円型方程式の固有値問題の解の漸近挙動の解析に対してこの方法が適していることが判明した。特に、上の二つの方法で得た2種類の変分固有値の漸近挙動は互いに異なっていることが判明した。これらの結果をいくつかのパラメーターを含む非線形固有値問題に拡張することは重要な課題であったが、我々はこれまでに得られた結果・手法を、さらに一般化された高次元の問題に適用し、解や固有値の漸近挙動・分岐理論との関連を明らかにする手がかりを得た。すなわち、2つのパラメーターの問題にたいして得た結果を、自然な形でいくつかのパラメーターを含む非線形固有値問題に拡張することに成功した。これらの研究で、従来の線形固有値理論を含む、統括的な理論体系の構築が十分期待できる。また、特異摂動の問題における解の漸近挙動の性質と同様に、この問題の解や固有値の定性的性質、特に解の形状や固有値の漸近挙動が、領域の形状に影響を受けるということが判明した。
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