有限不変測度を持たないエルゴード変換の性質と関連する諸問題への応用の研究

1996 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 08640303
• 研究機関: 慶応義塾大学
• 研究代表者: 伊藤 雄二 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (90112987)
• 研究分担者: 富山 淳 日本女子大学, 理学部, 教授 (30006928) ; 金井 雅彦 慶應義塾大学, 理工学部, 助教授 (70183035) ; 榎本 彦衞 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (00011669) ; 田中 洋 慶應義塾大学, 理工学部, 教授 (70011468) ; 仲田 均 慶應義塾大学, 理工学部, 助教授 (40118980)
• キーワード: II_∞型エルゴード変換 / III型エルゴード変換 / exhaustive weakly wandering seq. / Zの直和分解 / p進数体Z_pの直和分解 / Bratteli compactum / Vershik変換 / 多重再帰性

研究概要

本研究で、研究代表者は、主として、有限不変測度を持たない所謂II_∞型及びIII型エルゴード変換に特有な性質を、それ等の変換の再帰性に関連して登場する種々の無限整数列で与えられる変換の不変量を通して解明することを試みた。
1.II_∞型変換に関しては、変換に附随して定義さ れるexhaustive weakly wandering sequence (e.w.w.s)の整数論的性質に密接な関係を持つN及びZの2つの無限部分集合への直和分解の構造に関して新らしい結果を得ることが出来た。特に、(1)e.w.w.sの漸近的性質を用いると、Zの直和分解、Z=A【symmetry】Bに現われるsummdndの構造が明確になり、以前de Brujinに依って得られた諸結果に、異った立場に基いた証明が与えられることが解った。(2)逆にde Brujinの結果を用いると、同じe.w.w.sを持ちながらisomorphicにはならないII_∞型変換が多数存在することが明らかになった。(3)Zの直和分解は、P進数体Zpの直和分解と密接に関連していることが明らかにされ、この関連を通して、対応すエルゴード変換の不変量として現われる諸整数列の整数論的位置づけが明確化されることが解った、以上の結果は論文としてまとめるべく準備中である。
2.III_λ型変換(0<λ<1)の軌道構造を決定する上で鍵となるII_1型変換が、ある種のBratteli compactum上のVershik変換として捉えられることが明らかにされ、その変換がtotally ergodicであることが示された。
3.研究分担者仲田に依って得られたII_∞型変換の多重再帰性に関する諸結果や、富山に依って得られた、コンパクト空間上の位相同型写像に関する諸結果は、上記の諸結果と深い関り合いを持つ。その他、研究分担者金井、前田、塩川、小山、前島、田中、榎本等に依って種々の結果が得られた。

研究成果

• [文献書誌] Nakada,H.: "Continued fractions,geoaesic flows and Ford circles" Algorithms,fractals,and dyndmics,Proceedings of Hayashibara forum. 179-191 (1996)
• [文献書誌] ITO,Y.: "Direct Sum Decomposition of the Integers" Tokyo Journal of Math.Vol18 No.2. 259-270 (1996)
• [文献書誌] TANAKA,H.: "Environment-wise central limit theorem for a diffusion in a Brownian environment with large drift" Ito′s stochastic Calculus on Probability Theory,Springer Venlag. 373-384 (1996)
• [文献書誌] Nakai,Y.and Shiokawa,I.: "Normality of numbers generated by the values of polynomials at primes" Acta Arith metica. (to appear in).
• [文献書誌] KANAI,M.: "A new approach to the rigidity of discrete group actions" Geometric and Functional Analysis. 6. 943-1056 (1996)
• [文献書誌] TOMIYAMA,J.: "Topological full groups and structure of normalizers in transformation group C^*-algebras" Pacific Journal of Mathematics. 173. 571-583 (1996)