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本研究課題において具体的な目標としていたことのうち、1.2次元多様体上の平坦接続のモジュライ空間の滑層構造の解明とD-加群の構成、2.幾何学的量子化の一般化としてのコホモロジー理論における消滅定理、について得られた結果と、その過程で明らかになった今後の課題等を以下に記す。
1.については、平坦接続のモジュライ空間の幾何学的量子化の次元に関するフェアリンデの分解公式の、シンプレクティック幾何学的な証明を与えることと並行させて研究を進めた。その結果、「ハミルトン的群用の下での幾何学的量子化に関する重複度公式」を応用することにより、上記分解公式が自然に得られることが判った。その際、モジュライ空間の滑層構造は、運動量写像の臨界値におけるシンプレクティック商の滑層構造という形で一般的に考察が可能であり、Kirwanによる部分的特異点解消が有効であることを示したMeinrenken-Sjamaarの結果が鍵となった。なお、本研究者が有限次元のトーラス作用を用いているのに対し、Meinrenken-Woodwardは無限次元のループ群作用を解析して同公式を証明した。両者の相関の解明は、未達成のまま残ったD-加群の構成等に関連して興味深いと考えられ、今後の課題として挙げておく。
2.に関連して、シンプレクティック・トーリック多様体上に退化付き不変偏極の族を構成し、同伴する幾何学的量子化の推移に祭し、特殊なラグランジュ部分多様体上への局所化現象が起こることを示した。さらに、この不変偏極による幾何学的量子化を層係数のコホモロジーとして記述し、上記局所化に対応するコホモロジーの消滅を示すことができた。昨年度得られたシンプレクティック・トーラスに対する同様の結果を踏まえつつ、これらをより広いクラスのシンプレクティック多様体に拡張することは、引続き今後の課題としておく。
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