| 研究概要 |
符号,格子そして頂点作用素代数について,組合せ論の立場から考察し,研究を行った.
極限的な頂点作用素代数に関する,多項式の零点について調べた.頂点作用素代数と呼ばれる,無限次元ベクトル空間がある.最近,マロニーとウィッテンは,極限的な頂点作用素代数に対して,ヘッケ多項式の類似となっているような多項式列,分割多項式を定義し,零点は全て実根で,基本領域の境界に存在するという,浅井-金子-二宮の結果の類似を証明した.さらにこの拡張として,本研究では,他のモンスターの元に対して分割多項式を定義し,2A元の時に,零点が全て実根であることを示した.
共形デザインのアスマスーマトソンの定理の類似について調べた.最近ヘーンによって,頂点作用素代数の共形デザインが定義され,さらに,アスマスーマトソンの定理の類似が証明された.私は極限的な頂点作用素代数のg-ツイスト加群に対して考察を行い,次の結果を得た.即ち|g|=2,の時.g-ツイスト加群は7-デザインになる.これは,1-モジュラー格子に対するアスマスーマトソンの定理の類似となっている.
格子から作られる球面デザインの非存在を証明した.E_8格子を考えよう.E_8格子は極限的な自己双対格子で,シェルは常に7-デザインとなっている.ここで,8-デザイン以上になるシェルがあるかというのは,自然な問題であろう.そして非常に面白いことに,この問題は,数論において古くから知られる,レーマー予想と同値になっているのである.ここで,一番簡単な場合である2次元格子Z^2格子,A_2格子を考えよう.これらのシェルはそれぞれ,3-デザイン,5-デザインになっているのだが,それ以上になるか,という問題を考える.この問題は,E_8格子の時と同様,ある保型形式の係数が消えるか否かの問題と同値になるのだが,この保型形式の係数が消えないことを証明した.
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