数論的D加群のホロノミー性がコホモロジー作用素によって保存されることを示すための基礎的な研究を行った。古典理論と比較した場合、ホロノミー性が保存されることを示す時の難しさの一つに特性多様体が非常に強い条件下でしか定義されていないことにあると思われる。今年度は特性多様体がどのようなものに対してでも定義されるために必要な予想(ある種の"安定化予想")を定式化すると共に1次元の場合に対してその予想を示すことができた。さらにこの予想を推し進めることによって特性サイクルを定義するのに必要な予想を定式化した。これはまだ1次元の場合にも示せていない。この予想を示すことができれば現在特性多様体が定義できる状況下ではすべての数論的D加群がホロノミーであるという非常に強い結果を得ることができる。この結果が得られれば一部のコホモロジー作用素に対してホロノミー性の保存予想を示すことができる。一方、古典理論との類似で特性多様体は包合的であると思われる。古典理論においては包合性もホロノミー性の保存を証明するにあたって非常に重要な性質であった。その包合性が有限レベルの数論的D加群において成立するかどうかは知られていなかったが有限レベルにしてしまうと包合性が成立しない例を構成することができた(1次元の場合は包合性は常に成立していることが知られていた)。これらの研究は特性多様体の形状に関して非常に強い制限を与えるものであり、ホロノミー性の保存に関する研究に限らず応用をする上で重要であることが古典理論との類似を考えたとき思われる。
|