ゼータ関数、L関数の挙動とその整数論的意味

1997 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440009
• 研究機関: 名古屋大学
• 研究代表者: 松本 耕二 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (60192754)
• 研究分担者: 桂田 昌紀 鹿児島大学, 理学部, 助教授 (90224485) ; 秋山 茂樹 新潟大学, 理学部, 助教授 (60212445) ; 木内 功 山口大学, 理学部, 助教授 (30271076) ; 谷川 好男 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 助教授 (50109261) ; 北岡 良之 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (40022686)
• キーワード: ゼータ関数 / L関数 / 約数問題 / 平均値定理 / Pisot数 / 二重ガンマ関数

研究概要

本年度に得られた成果の主たる部分は,ゼータ関数の平均値定理について一段と深い理解がなされたことであろう。そのひとつは Hurwitzゼータ関数の、パラメータに関する2乗平均値の詳細な漸近展開式の照明であり、1950年代(Koksma,Lekkerkerkerら)以来の問題にひとつの結着をつけたものである。また類似の方法で、Barnes の二重ゼータ関数,二重ガンマ関数についての新しい漸近展開も得られ,Heckeの実2次体のL関数のs=1での値の研究に応用された。また約数問題の残余項Δ(x)とそのアナロジーΔa(x)に対してもその平均値の研究がすすみ,Lau-Tsangの公式の積分形アナロジーの証明,また短い区間におけるJutila型の平均値定理の指数付きの場合への拡張が得られた。この後者はさらに極く最近、柳沢直樹氏によるChowla-Walumの公式に基づく新しい方法が既に開発され,本研究の一部の分担者により柳沢理論と融合させた新研究が既に開始されている。これは次年度にまとめることになるであろう。一方、1996年に田村純一氏が導入したいわゆる田村の無限積や,Pisot数についても新しい分析が進められた。この方向は,Thurstonのタイリングやフラクタル図形との関連も見出され,さらなる展開が期待できる。こうした方向では,整数論的性質に深く根ざした,複雑なアルゴリズムの分析が必要であるが、本研究においてそうした分析に対して新知見が得られている。さらにゼータ関数を係数にもつある種の級数に関する,Mellin-Barnes型の積分を応用した漸近挙動の解明も行った。

研究成果

• [文献書誌] I.Kiuchi and K.Matsumoto: "The resemblance of the behaivour of the remainder terms D_δ(t),Δ_<1-2δ>(x) and R(δ+it)" “Sieve Methods,Exponential Sums,and their Applications in Number Theory",Cambridge Univ.Press. 255-273 (1997)
• [文献書誌] M.Katsurada and K.Matsumoto: "Explict formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions II" “Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory"New Trends in Probab.and Statist.Vol.4.VSP/TEV. 119-134 (1997)
• [文献書誌] K.Matsumoto: "Asymptotic series for double zeta,double gamma,and Hecke L-functions" Math.Proc.Cambridge Phil.Soc.(to appear). (1998)
• [文献書誌] Y.Kitaoka: "Finite arithmetic subgroups of GL_n,V" Nagoya Math.J.146. 131-148 (1997)
• [文献書誌] F.Fujii and Y.Kitaoka: "On plain lattice points whose coordinates are reciprocals modulo a prime" Nagoya Math.J.147. 137-146 (1997)
• [文献書誌] H.Ito: "On a prooluct related to the cubic Gauss sum II" Nagoya Math.J.148. 1-21 (1997)
• [文献書誌] J.Furuya and Y.Tanigawa: "Estimation of a certain function related to the Dirichlet divisor problem" “Analytic and Probabilistic Methods in Number Theory"New Trends in Probab,and Statist.Vol.4,VSP/TEV. 171-189 (1997)
• [文献書誌] S.Akiyama and Y.Tanigawa: "Calculation of values of L-functions associated to elliptic curves" Math.Comput.(to appear).
• [文献書誌] I.Kiuchi and Y.Tanigawa: "The mean value theorem of the divisor problem for short intervals" Areh.Math. (to appear).
• [文献書誌] S.Akiyama: "Almost uniform distribution modulo1 and the distribation of primes" Acta Math.Hungar.78. 39-44 (1998)
• [文献書誌] S.Akiyama: "Pisot numbers and greedy algorithm" “Proc.Intern,conf. on Number Theory held at Eger". (to appear).
• [文献書誌] M.Katsurada: "On Mellin-Barnes type of integrals and sums associated with the Riemann zeta-function" Publ.Inst.Math.(Beograd). 62. 13-25 (1997)
• [文献書誌] M.Katsurada: "An application of Mellin-Barnes'type integrals to the mean square of Lerch zeta-functions" Collect.Math.48. 137-153 (1997)