高次元双有理幾何周辺の分類が絡んだ諸問題

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440010
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 森 重文 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (00093328)
• 研究分担者: 向井 茂 名古屋大学, 多元数理, 教授 (80115641) ; 齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044) ; 中山 昇 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (10189079) ; 宮岡 洋一 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50101077)
• キーワード: 極小モデル / アパンダンス予想 / ミラー予想 / K3曲面 / カラビーヤウ多様体 / アーベル多様体 / A-モデル / モーデル・ヴェイユ格子

研究概要

森は、3次元フリップに関するReid予想をフリップ曲線が可約の場合にも解決した(前年度より執筆継続中)。代数多様体の双有理幾何学についての入門書の日本語版を執筆した。
宮岡は、極小曲面上の既約曲線の標準因子に関する次数がその(正規化曲線の)種数を用いて上からの評価を与えた。これにより自然数gと一般型曲面Sが与えられた時、S上に種数gの曲線は有界(有限個の代数的族からなる)であることを示した(プレプリント)。
向井茂は、K3曲面へのシンプレクティック作用のラティスを用いた構成を与えた。
齋藤政彦は、アーベル曲面のファイバー構造を持つカラビ・ヤウ多様体に対してモーデル・ヴェイユ格子の理論を用いて、ある種の有理曲線に対するA-モデルプレポテンシャルが格子のテータ関数で計算される事を示した。さらに最近の細野忍、高橋篤史との共著論文で、種数の高い曲線についてもプレポテンシャルの形を予想した。
中山は、アバンダンス予想を仮定すると不変被覆空間がアファイン空間になる非特異射影多様体はアーベル多様体を有限被覆として持つことを示した。(3次元に関してはこの仮定は証明されている。)
小木曽は、カラビーヤウ多様体の、代数的ファイバー空間構造の有限性、基本群、K3曲面の自己同型群、及びその応用としてのログエンリケス曲面の分類等を行った。
小林は、幾何学的ミラー予想に現れる、special Lagrangian3-torusの構成例を初めて与えた。
早川は、指数>であるような3次元端末特異点に関して、discrepancyが最小になるような例外因子は全て(具体的に計算される)『重み付き爆発』により得られることをほぼ示した。結果の前半を出版予定。

研究成果

• [文献書誌] 向井茂: "Lattice theoretic construction of symplectic action on K3 surfaces" Duke Math.J.92. 593-603 (1998)
• [文献書誌] 齋藤政彦: "On the Mirror Symmetry Conjecture for Schoen's Calabi-Yau 3-folds(with Shinobu Hosono and Jan Stienstra)" Proceedings of Taniguchi Symposium 97, “Integrable Systems and Algebraic Geometry",(ed.M.-H.Saito, Y.Shimizu, K.Ueno), Kobe/Kyoto, World Scientific Co.194-235 (1998)
• [文献書誌] 中山昇: "Projective algebraic varieties whose universal covering spaces are hiholomorphic to C^n" Journ.Math.Soc.Japan. (to appear). (1999)
• [文献書誌] 小木曽啓示: "K3 surfaces with order five automorphisms" J.Math.Kyoto Univ.38. 419-438 (1998)
• [文献書誌] 小林正典: "A special Lagrangian 3-torus as a real slice" Proceedings of Taniguchi Symposium 97, “Integrable Systems and Algebraic Geometry" (ed.M.-H.Saito, Y.Shimizu, K.Ueno), Kobe/Kyoto, World Scientific Co.(1998)
• [文献書誌] 早川貴之: "Blowing ups of 3-dimensional terminal singularities" Publ.RIMS(to appear).
• [文献書誌] 森重文: "Birational geometry of algebraic varieties" Cambridge University Press, 259 (1998)
• [文献書誌] 森重文: "双有理幾何学(J.Kollarと共著)" 岩波書店, 328 (1998)