代数多様体の周期と一般超幾何函数の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440015
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 齋藤 政彦 神戸大学, 理学部, 教授 (80183044)
• 研究分担者: 吉岡 康太 神戸大学, 理学部, 講師 (40274047) ; 高山 信毅 神戸大学, 理学部, 教授 (30188099) ; 高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678) ; 佐々木 武 神戸大学, 理学部, 教授 (00022682) ; 野海 正俊 神戸大学, 理学部, 教授 (80164672)
• キーワード: Mirror 対称性 / GKZ 超幾何系 / カラビ・ヤウ多様体 / グロモフ・ウイッテン不変量 / 有理楕円曲面 / プレポテンシャル / ベクトル波 / 化積分系

研究概要

平成10年度においては、引き続きミラー対称性予想の観点からカラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン理論によるA-モデルおよび代数多様体の族の周期に対するGKZ超幾何系によるB-モデルのプレポテンシャルの計算およびその比較を行なった。齋藤は有理楕円曲面を含むカラビ・ヤウ多様体について平成9年度より広いクラスの有理曲線およびある種の種数の高い曲線のプレポテンシャルを調べ、それらの一部が擬保型形式の多項式によって得られる事を示し、また一般の場合のアノーマリー方程式を予想した。(現在投稿中)。これらの結果について、齋藤は1998年6月にアメリカ数学会の量子コホモロジー研究集会で研究発表し、また1999年2月にボンのMax-Planck研究所においてD.Zagierに研究のレビューを受けた。
また、ここで求められたプレポテンシャルは数理物理学においては、有理楕円曲面上のベクトル束のモジュライ空間の位相的オイラー数から定まるプレポテンシャルとの同値性が予想されておりこの観点から階数が2の場合に吉岡は数理物理学者たちの予想を数学的に厳密に証明する事に成功した。
上記とは他に、野海、山田によるアファインワイル群の表現に基づくパンルベ系の系統的研究、佐々木・吉田による3次曲面のモジュライ空間の微分方程式による一意化の研究、高山による超幾何系のグレブナー基底による変形論を研究した。これらは、超幾何系および可積分系の観点から上記のプレポテンシャルの計算に深く結びついている事が予想される。

研究成果

• [文献書誌] S.Hosono: "On the Mirror Symmetry Conjecture for Schoen's Calabi-Yau 3-foids" Proceedings of Taniguchi Symposium 97,“Integrable Systems あんd Algebraic Geometry",Kyoto,World Scientific,eds.by M.-H.Saito,Y.Shimizu,K.Ueno. 194-235 (1998)
• [文献書誌] S.Ogata: "Signature defects and eta functicons of degenerations of abelian varieties" Japan.J.Math. 23. 319-364 (1997)
• [文献書誌] M.Nounmi: "Affine Weyl groups,discrete dynamical systems and Painleve equations" Comm.Math.Phys.199. 281-295 (1998)
• [文献書誌] M.Noumi: "Affine Hecke algebras and Macdonald Polynomials" Progress in Mathematics,Birkhauser. 160. 365-377 (1998)
• [文献書誌] F.Dillen: "The Classification of projectively homogeneous surfaces II" Osaka J.Math. 35. 117-146 (1998)
• [文献書誌] K.Yoshioka: "Euler characteristics of SU (2) instanton moduli spaces on rational elliptic surfaces" Comm.Math.Phys.(発表予定). (1999)
• [文献書誌] M.Saito: "Grobner deformations of hypergeometric differential equations" Springer verlag (印刷中), (1999)