| 研究課題/領域番号 |
09440036
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
鎌田 正良 九州大学, 大学院数理学研究科, 教授 (60038495)
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| 研究分担者 |
原 民夫 東京理科大学, 理工学部, 助手 (10120205)
西 晴子 九州大学, 大学院数理学研究科, 助手 (90274430)
高田 敏恵 九州大学, 大学院数理学研究科, 講師 (40253398)
横田 佳之 九州大学, 大学院数理学研究科, 講師 (40240197)
岩瀬 則夫 九州大学, 大学院数理学研究科, 助教授 (60213287)
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| キーワード | cobordism group / SK group / genus / framed cobordism / LS-category / Hopf invariant / homotopy group / quantum invariant |
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| 研究概要 |
本研究が最も中心的に取り組んだ乗法的種数の具体例で意義深い結果をもたらしたものは、同変種数の複素U(1)-表現への応用である。この結果は、二つのU(1)-表現に付随した複素射影空間が同境となる必要十分条件を与えたものである。
重要な多様体であるリー群は、その接ベクトル場がstableに平坦であることからリー群の同境類は球面の安定ホモトピー群の要素に対応する。鎌田は南との共同研究でJ群で評価する不変量を利用して、偶数次元の特殊回転群はstableに平坦な接ベクトル場を有する多様体の境界となることを示すことが出来た。
つぎに、もう一つの主な目的の一つとして、群が作用する微分可能多様体を「切った、貼った」の操作で変形したとき、この変形に対して不変な量を見つけることである。原は、位数が2^rの巡回群の場合、各スライス型に対応する部分多様体のオイラー数から導かれる不変量によって、この巡回群が変換群として作用する多様体を「切った、貼った」で変形するとどのような多様体になるかを決定することが出来た。さらに、この巡回群が変換群として作用する多様体が円周上のファイバー束に同変同境理論の意味で変形出来るための必要十分条件を導いた。
多様体のモース関数の特異点の個数はコホモロジー環のべき零指数によって評価される。この指数は、多様体の開被覆の開集合の個数に関係し、この個数をカテゴリー次元と呼んでいる。この不変量に関してはGanea予想と呼ばれるものがある。岩瀬は、A_∞構造に依存するホップ準同型写像を全く新しい考察から提案し、これを利用して上の予想には反例があることを示した。
また、横田と高田は、各コンパクトリー群に対して定義される複素数値の位相不変量である3次元多様体の量子不変量は、ある代数的整数環にその値をとるであろうという予想を、リー群SU(N)については正しいという結果を得た。
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