| 研究課題/領域番号 |
09440037
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| 研究機関 | 熊本大学 |
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研究代表者 |
伊藤 仁一 熊本大学, 教育学部, 助教授 (20193493)
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| 研究分担者 |
菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
田中 実 東海大学, 理学部, 教授 (10112773)
平峰 豊 熊本大学, 教育学部, 教授 (30116173)
金丸 忠義 熊本大学, 教育学部, 教授 (30040033)
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| キーワード | 最小跡 / 距離関数 / リーマン多様体 / ハウスドルフ測度 / lipsehitz性 / ボロノイ領域 |
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| 研究概要 |
リーマン多様体の最小跡の構造に関して、最近、コンパクト曲面においては最小跡の長さが有限であることが分かり、Ambroseの問題が曲面の場合に肯定的に解決した。そこで、本研究では、最小跡の構造の研究を進めることを第1の目的とし、更に、その結果を用いて大域のリーマン幾何に応用する事を第2の目的としている。
最重要課題である最小跡までの距離関数のLipschitz性は、田中(分担者)との共同研究において、昨年度中に証明することができ、本年度は論文にまとめ上げ、現在投稿中である。この結果により、最小跡内に距離を定義することができ、最小跡の幾何学の誕生を意味するものと思われる。そこで、最小跡に最も期待される幾何構造として、曲率を上から(または、下から)制限したAlexandrov空間が考えられるが、残念ながら、そうではないことが分かった。何らかの意味で全曲率が有限のようなものを距離構造のみからを定義し、考察することが期待される。
C^∞級リーマン多様体の最小跡に、何らかのstratificationを示そうとする研究においては、まず、3次元球面の場合に試みた。概ね、最小跡のstrataの境界がフラクタルにはならないことを示せば良いが、まだ完全とは言えない。また、次の作業仮説として、各最小点でのHausdorff次元未満のHausdorff測度零集合を除けば、最小跡がその次元の部分多様体となることを示すことを考えている。
最小跡の構造と密接な関係にある距離関数の臨界値の集合が3次元の場合に測度ゼロとなる(Sard型の定理)が示された(田中との共同研究)。更に、一般次元での解決を目指している。
第2の目的に関しては、一般次元のAmbroseの問題の解決が期待されるが、一般の場合の反例の構成を検討している。また新たに、Hadamard多様体のボロノイ領域の面の個数評価がえられた。この場合のボロノイ領域の境界は、n点の最小跡と一致することを用いて、ユークリッド空間と負定曲率空間のボロノイ領域の面の個数評価より、Hadamard多様体のボロノイ領域の面の個数評価を行ったものである。
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