| 研究概要 |
リーマン多様体は、リーマン距離をもつ距離空間であると同時にリーマン測度とエネルギー形式によって定まる正則ディリクレ空間である。研究代表者と分担者久村憲裕氏との共同研究で導入されたスペクトル収束の概念を中心に研究を行った.今年度の研究実績を要約する:(1)スペクトル距離はGromov-Hausdorff距離を"dominate"する.実際スペクトル距離に関するコンパクトリーマン多様体のコーシー列を考える.この列は,ある正則ディリクレ空間にスペクトル収束(熱核の収束)するが,リーマン多様体を距離空間と考えたときのGromov-Hausdorff距離に関するコーシー列を部分列に含む.このとき,極限空間上にある連続擬距離が定まり,スペクトル近似写像は同時にHausdorff近似になる.この擬距離によって自然に定まる距離空間(商空間)が,GH距離極限である.一般に擬距離は一意に決まらない.すなわちGHコーシー列を部分列は族として現れる.各擬距離に関するリプシッツ関数の空間はディリクレ形式の定義域に入り,リプシッツ条件でエネルギー評価される;(2)スペクトル距離は,エネルギー形式の7種のガンマ収束の形で表現できる.これらはまたレゾルベント収束,ポアソン方程式の解の収束と同等である.この事実は基本的である.今後幾何学的に興味ある多様体の族を研究する上で出発点になるものと期待している;(3)リッチ曲率とスペクトル収束の解析リッチ曲率が一様に下から押さえられている族あるいはより一般にこの計量と一様同値なクラスの場合,極限のディリクレ形式は."carre du champ"空間になり,さらに局所スペクトル収束の成立.および開集合上のラプラス方程式の解-境界条件を満たす調和関数-の収束が成立する.
|
