| 研究概要 |
リーマン多様体は、リーマン距離をもつ距離空間であると同時にリーマン測度とエネルギー形式によって定まる正則ディリクレ空間である。研究代表者と分担者久村憲裕氏との共同研究で導入されたスペクトル収束の概念を中心に、前年度の成果(1)スペクトル距離はGromov-Hausdorff距離を"dominate"すること(2)スペクトル距離は,エネルギー形式の一種のガンマ収束の形で表現できること(3)リッチ曲率とスペクトル収束の解析を基に研究を行う。今年度の研究実績を要約する:リッチ曲率が一様に下から押さえられている族あるいはより一般にこの計量と一様同値なクラスの場合,極限のディリクレ形式は,"carre du champ"空間になり,さらに局所スペクトル収束の成立,および開集合上のラプラス方程式の解ー境界条件を満たす調和関数ーの収束が成立する。さらに非正の曲率を持つ完備多様体をターゲットとする写像空間とそのエネルギースペクトルを考察し、スペクトル収束において、エネルギースペクトルの連続性および調和写像の収束を示す。また多様体全体ではなく収束する領域に視点を置いて、調和写像に関するディリクレ問題の解の収束も同時に示す。これらの応用として、アルバネーゼトーラスおよびアルバネーゼ写像の連続性を示す。この事実は、極限空間の位相的性質を反映している事実であると期待できる。
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