力学系の位相的指標の研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440043
• 研究機関: 龍谷大学
• 研究代表者: 山岸 義和 龍谷大学, 理工学部, 助手 (40247820)
• 研究分担者: 早川 英治郎 富山大学, 工学部, 助教授 (50240776) ; 松岡 隆 鳴門大学, 学校教育学部, 助教授 (50127297) ; 森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783) ; 四ツ谷 晶二 龍谷大学, 理工学部, 教授 (60128361) ; 國府 宏枝 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20215221)
• キーワード: 位相的指標 / 周期軌道 / Conley index / ホモクリニック分岐 / connecting orbit

研究概要

円板上の向きを保つ同相写像に対し、周期がn以下の周期点全体の集合P(n)を考える。P(n)の個数が2n+2以下である場合に、P(n)の組みひも型の可能なタイプをすべて決定した。
punctured disk上のpseudo-Anosov同相写像でそのunstable foliationが内部特異点を持たず,かつ,puncture上では1-prongの特異点しか持たないものをグラフを用いた議論で構成した。
Conley indexの理論をslow-fast systemsと呼ばれるある種の特異摂動的ベクトル場に対して構築することを目指し,まずその第一歩としてslow manifoldがnormally hyperbolicで1次元である場合について扱った。具体的には,そのような力学系における周期軌道やconnecting orbitの存在を示す位相的・代数的な条件を見い出した。
shadow systemと呼ばれる反応拡散方程式系の特異極限系における大域アトラクタの構造をConley indexの理論を用いて記述することを目指し,その一部分である単調解全体のなす正不変部分集合の構造の記述を与えることに成功した。
区分線型で対称なbimodal mapの2パラメータ族の位相的エントロピーのパラメータに関する単調性の問題について研究し,パラメータ空間の大部分の領域における単調性と,パラメータ全域における等エントロピー曲線の連結性を証明した。

研究成果

• [文献書誌] H.Kokubu,et.al.: "Connecting orbit structure of monotone solutions in the shadow system" Journal of Differential Equations. 140. 309-364 (1997)
• [文献書誌] T.Matsuoka: "Periodic points of disk homeomorphisms having a pseudo-Anosou component" Hokkaido Math.J.27・1. 1-33 (1998)
• [文献書誌] E.Hayakawa: "Markov maps on trees" Math.Japonica. 51・2 (to appear).
• [文献書誌] Y.Morita,et.al.: "Homoclinic bifurcations in a diffusively coupled excitable system" Conference on Differential equations with applications to biology. 21. 397-407 (1999)
• [文献書誌] Y.Kabeya,et al.: "Number of zero of solutions to singular initial ualue problems" Tohoku Math.J.50. 1-22 (1998)