楕円型微分方程式のポテンシャル論的研究

1998 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440062
• 研究機関: 島根大学
• 研究代表者: 相川 弘明 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20137889)
• 研究分担者: 村田 實 東京工業大学, 理学部, 教授 (50087079) ; 水田 義弘 広島大学, 総合科学部, 教授 (00093815) ; 杉江 実郎 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40196720) ; 古用 哲夫 島根大学, 総合理工学部, 教授 (40039128) ; 山崎 稀嗣 島根大学, 総合理工学部, 教授 (70032935)
• キーワード: ポテンシャル / 調和 / 優調和 / 可積分性 / coarea公式 / 容量 / 細位相 / 極値的長さ

研究概要

研究代表者の研究成果を中心にして述べる.
●楕円型微分方程式の解の詳しい性質はGreen関数,Green作用素によって表される.これらについて次の研究を行った.
(i) Green作用素のノルム評価
(ii) 摂動によるGreen関数の変化
(iii) 摂動からみちびかれる優調和関数の可積分性
(iv) coarea公式による摂動へのアプローチ
●古くから考察されてきた極値的長さを一般化し,2つの集合を結ぶ極値的距離と,2つの集合を切断する極値的幅との逆数関係式を示した.さらに,ベクトル測度に極値的長さを拡張し、退化する楕円型方程式に付随した容量との関連を与えた.これは研究協力者大津賀 信との共同研究である.
●細位相を用いて,不連続な優調和関数に対して一般化されたCranstonとMcCMcConnellの不等式が成立することを示した.これは1996年のJ.Analyse Math.の論文の拡張である.
●細位相と集積値集合,境界値に関する相互関係や,境界Harnack原理とMartin境界などについて,研究協力者の水谷友彦やGardinerと共同研究を行った.これらの結果は投稿中である.

研究成果

• [文献書誌] H.Aikawa: "Capacity and Hausdorff content of certain enlarged sets" Mem.fac.Sci.Eng.Shimane Univ.,Series B : Mathematical Science. 30. 1-21 (1997)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Densities with the mean value property for harmonic functions in a Lipschitz domain" Proc.Amer.Math.Soc.125. 229-234 (1997)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Semibounded perturbation of Green function in an NTA domain" Mem.Fac.Sci.Eng.Shimane Univ.,Series B : Mathematical Science. 31. 1-7 (1998)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Generalized Cranston-McConnell inequalities for discontinuous superharmonic functions" Potential Analysis. 8. 127-135 (1998)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Norm estimate of Green operator, perturbation of Green function and integrability of superharmonic functions" Math.Ann.312. 289-318 (1998)
• [文献書誌] H.Aikawa: "Integrability of superharmonic functions in a John domain" Proc.Amer.Math.Soc.(to appear). (1999)
• [文献書誌] H.Aikawa and M.Ohtsuka: "Extremal length of vector measures" Ann.Acad.Sci.Fenn.Ser.A.I.Mathematica. (to appear).
• [文献書誌] 山崎稀嗣: "Finite Hilbert networks" RIMS Kokyuroku. 1015. 38-49 (1997)
• [文献書誌] 村上温, 山崎稀嗣: "An introduction of Kuramochi boundary of an infinite network" Mem.Fac.Sci.Shimane Univ.Ser.B : Mathematical Science. 30. 57-89 (1977)
• [文献書誌] 村上温, 山崎稀嗣: "無限ネットワークの非線形倉持境界" RIMS Kokyuroku. 1016. 85-93 (1997)
• [文献書誌] 山崎稀嗣: "Extremum problems on a Hilbert network" Mem.Fac.Sci.Shimane Univ.Ser.B : Mathematical Science. 31. 57-71 (1998)
• [文献書誌] 村上温, 山崎稀嗣: "Discrete Kuramochi function" Proc.3rd.Intern. Conference on Difference Equation and Applications. (to appear). (1999)
• [文献書誌] 生源寺亨浩, 山崎稀嗣: "Hardy's inequality on finite networks" Mem.Fac.Sci.Shimane Univ.Ser.B : Mathematical Science. 32(to appear). (1999)
• [文献書誌] T.Furumochi: "Almost periodic solutions of integral equations" Nonlinear Analysis. 30. 845-852 (1997)
• [文献書誌] T.Burton and T.Furumochi: "Periodic solutions of a neutral integro-differential equation" Funkcialaj Ekvacioj. 41. 327-336 (1998)
• [文献書誌] Jitsuro Sugie: "Two-parameter bifurcation in a predator-prey system of Ivlev type" Journal of Mathematical Analysys and Applications. 217. 349-371 (1998)
• [文献書誌] Jitsuro Sugie: "On global asymptotic stability of systems of Lienard type" Journal of Mathematical Analysis and Applications. 219. 140-164 (1998)
• [文献書誌] Jitsuro Sugie: "Global asymptotic stability of a predator-prey system of Holling type" Nonlinear Analysis. (掲載決定済み).
• [文献書誌] Jitsuro Sugie: "Uniqueness of limit cycles in a predot-prey system with Holling-type functional response" Quarterly of Applied Mathematics. (掲載決定済み).
• [文献書誌] Tadayuki Hara: "Exponential asymptoic stability in linear delay-differential equations with variable coefficients" Differential and Integral Equations. 11. 263-278 (1998)
• [文献書誌] Tetsuo Furumochi: "Periodic solutions of a neutral integro-differential equation" Funkcialaj Ekvacioj. 41. 327-336 (1998)
• [文献書誌] N.Kato: "Nonlinear nonlocal differential equations related to muscle contraction mechanism" Nonlinear Anal.TMA. 30-6. 3909-3915 (1997)
• [文献書誌] N.Kato: "Local existence for a general model of size-dependent population dynamics" Abstract Appl.Anal.2 Nos.3-4. 207-226 (1997)
• [文献書誌] N.Kato: "Linearized stability and asymptotic properties for abstract boundary value functional evolution problems" Dynamical Systems and Differential Equations (W.Chen and S.Hu,eds.), Southwest Missouri State Univ.I. 371-387 (1998)
• [文献書誌] N.Kato: "Nonlinear nonlocal hyperbolic equations arising in physiology" Adv.Math.Sci.Appl.(to appear).
• [文献書誌] N.Kato: "Nonlinear nonlocal transport-diffusion equations arising in physiology" Nihonkai Math.J.(to appear).
• [文献書誌] K.Hatano: "Is a net measure an outer measure ?" Mem.Fac.Sci.Eng.Shimane Univ.Series B : Math.Sci.31. 9-10 (1998)
• [文献書誌] M.Murata: "Semismall perturbations in the Martin theory for elliptic equations" Israel J.Math.102. 29-60 (1997)
• [文献書誌] K.Ishige and M.Murata: "An intrinsic metric approach to uniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations" Math.Z.227. 313-335 (1998)
• [文献書誌] M.Murata: "Structure of positive solutions to Schrodinger equations" Sugaku Expositions. 11. 101-121 (1998)
• [文献書誌] 相川弘明 (編集): "ポテンシャル論とその関連分野(数理解析研究所講究録 1016)" 京都大学数理解析研究所, 171 (1997)
• [文献書誌] 倉田和弘, 村田實: "偏微分方程式1(岩波講座 現代数学の基礎)" 岩波書店, 258 (1997)