| 研究分担者 |
坂口 茂 愛媛大学, 理学部, 助教授 (50215620)
林 仲夫 東京理科大学, 理学部, 助教授 (30173016)
石井 仁司 東京都立大学, 理学部, 教授 (70102887)
田中 和永 早稲田大学, 理工学部, 助教授 (20188288)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学部, 教授 (20111825)
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| 研究概要 |
計画調書の研究目的にかかげた目標に関する成果が,着実にあがりつつある.以下にその主なものを挙げる.
方程式 (E)_1 -Δu=|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ω
に対して,次の定理を得た.
1) 「Ω=R^N＼B_R,B_R={x∈R^N;|x|【less than or equal】R},2^*<q<+∞ (2^*は,ソボレフ型埋蔵HH^1_0(Ω)⊂L^q(Ω)の臨界指数)とするとき,(E)_1はH^1(Ω)∩L^q(Ω)に属する(球対称)非自明解をもつ(大谷・橋本_哲).」1<q【less than or equal】2^*の場合には,非自明解が存在しないことが既に知られており(大谷・橋本_貴),有界領域に対する既知の結果(1<q<2^*のき存在,2^*【less than or equal】q<+∞のとき非存在)との双対性から,解の存在が予想されていたが,この長年の未解決問題が肯定的に解決された意義は極めて大きい.
2) Ω=Ω_d×R^<N-d>,Ω_dをd一次元円環領域とする.非自明解の存在に関して,今まで解明されていなかった場合2^*<q【less than or equal】N_dが解決された:(i)2^*<q<N_dの場合は,解が存在し,(ii)q=N_dの場合は,解が存在しない.即ち,既存の結果とあわせると「(i)1<q<N_dのとき存在(ii)N_d【less than or equal】qのとき非存在」となり,この問題に対する完全な解答が得られたことになる.この事実から,「領域のd次元対称性は,実効的次元を(d-1)次元だけ減ずる効果をもたらす」ことが結論づけられた.
(3) 方程式 (E)_2 -Δu+u=α(x)|u|^<q-2>u+f(x) x∈IR^N, 2<q<2^* 0<a(x),|a(x)-1|Ce^<λ|x|>,λ>0
に対して,||f||_<H-1(R^N)>が十分小さければ,(E)_2は少なくとも2つの正値解をもつ.(田中・足達)この結果は,従来の結果のa(・)に対する仮定を大幅に緩めたものになっている.さらに||f||_<H-1>-0としたときの解の漸近挙動も決定されている.
この他に,坂口による準線形放物型方程式の解の空間変数に関する導関数の零点の(時間)漸近的振る舞いに関する研究,林による臨界指数の非線形性を有する非線形Schrodinger方程式の解の漸近挙動に関する研究,山田によるreactiondiffusion systemに対するGlobal Attractorの研究などの興味深い結果が得られている.
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