ランダム系の臨界現象の解析

1999 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 09440079
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 樋口 保成 神戸大学, 理学部, 教授 (60112075)
• 研究分担者: 渡辺 清 神戸大学, 理学部, 助教授 (60091245) ; 高野 恭一 神戸大学, 理学部, 教授 (10011678) ; 福山 克司 神戸大学, 理学部, 助教授 (60218956) ; 今野 紀雄 横浜国立大学, 工学部, 助教授 (80205575) ; 吉田 伸生 京都大学, 大学院・理学研究科, 講師 (40240303)
• キーワード: グラウバーダイナミックス / スペクトルギャップ / 臨界点 / イジングモデル / パーコレーション / コントゥアーの収縮

研究概要

スピン系の臨界現象を相転移、スペクトルギャップについて詳しく研究した。また、独立でない確率変数系の極限定理について研究した。主な成果の一部を紹介する。
1)2次元イジングモデルの相転移とスペクトルギャップについて以下の結果を得た。
(a)端点Gibbs分布が2つだけであることの別証明として、パーコレーションの議論のみを用いて与えた。この副産物として一定の外部磁場の下での反強磁性的なイジングモデルでも同じ事実が成立することを証明した。(樋口,Georgii)
(b)臨界温度より下の全温度領域で、+境界条件またはドブルーシンの境界条件のときのスペクトルギャップがexp{-C√<LlogL>}よりも大きいことを証明した。(樋口、王)
2)非有界スピン系において、ドブルーシン-シュロスマンの強混合性の条件が対数的ソボレフ不等式や一様なスペクトルギャップと同値であることを証明した。(吉田)
3)f(θ^nx)やf(θ^n_1θ^m_2,...,θ^1_k)の形の列に対する中心極限定理と、分散が退化するときの特徴付けを行った。(福山)
4)non-attractive caseでエルゴード定理が成り立つ場合があることを非自明なモデルで証明し、極限の表現に成功した。(香取、今野、種村)
5)p-パーコレーションにおいて、Menshikov-Zuevの予想に対する反例を構成した。(村井)

研究成果

• [文献書誌] Y.Higuchi 他: "On the speed of convergence for two dimensional first-passage percolation"The Annals of Probability. (to appear).
• [文献書誌] H.O.Georgii 他: "Percolation and number of phases in the 2D Ising model"Journal of Mathematical Physics. (to appear).
• [文献書誌] K.Fukuyama: "On the gap series of Mark Kac"Colloquium Mathematicum. 81. 157-160 (1999)
• [文献書誌] K.Fukuyama: "The central limit theorem for lacunary series"Proc.Amer.Math.Soc.. 127. 599-608 (1999)
• [文献書誌] K.Fukuyama 他: "A remark on the g-CLT result by Molgenthaler"Trends in Probability and related Analysis,eds.N.Kono & N.R.Shieh,World Scientific,. 203-206 (1999)
• [文献書誌] K.Fukuyama: "The central limit theorem for Σf(θ^nx)g(θ^<n2>x)"Ergodic Theory and Dynamical Systems. (to appear).
• [文献書誌] T.Matano 他: "On some Hamiltonian structures of Painleve systems,II"Journal of Mathematical Socienty of Japan. 51. 843-866 (1999)
• [文献書誌] K.Takano: "Difining manifolds for Painleve equations"Toward the exact WKB analysis of differential equations linear or nonlinear(Eds.T.Kawai and Y.kakei). (印刷中). (2000)
• [文献書誌] K.Watanabe: "Weierstrass points of the Fermat curve"Proceedings of the Congress ISSA'97,University of Delaware,U.S.A,3-7 June,1997,Kluwer Academic. 1-13 (1999)
• [文献書誌] H.Sekiguchi: "Combinatorial formula of the dimension of global soulutions to a generalized hypergeometric system M_<3,2>(v)"Tokyo Journal of Mathematics. (to appear).
• [文献書誌] S.Takahashi 他: "Positive correlation inequalities for nonattractive stochastic cellular automata"Proceedings of International Workshop on Soft Computing inIndustry '99. 474-478 (1999)
• [文献書誌] M.Katori 他: "Suvival probabilities for discrete time models in one dimension"Journal of Statistical Physics. (to appear).
• [文献書誌] N.Konno 他: "Lower bounds for critical values of a cancellative model"Journal of Physics A: Mathematical and General. (to appear).
• [文献書誌] N.Yoshida: "The log-Sobolev inequality for weakly coupled lattice fields"Probability Theory and Related Fields. 115. 1-40 (1999)
• [文献書誌] N.Yoshida: "Application of log-Sobolev inequality to the stochastic dynamics of unbounded spin systems on the lattice"J.Functional Analysis. (to appear).